2At есть часть движения как некоторой суммы, дает ложную видимость положения

физики. Самый множитель, а, эмпирическая единица - некоторое определенное

количество, как таковое, - приписывается тяготению; если здесь применяют

категорию силы тяготения, то нужно сказать, что, наоборот, как раз целое

s=at2 есть действие или, лучше сказать, закон тяготения. - Также верно и

выведенное из ds/dt=2at положение, что если бы прекратилось действие силы

тяжести, то тело со скоростью, достигнутой им в конце своего падения, прошло

бы во время, равное времени его падения, пространство вдвое большее

пройденного. - В этом положении заключается также и сама по себе превратная

метафизика: конец падения или конец той части времени, в которое падало

тело, всегда сам еще есть некоторая часть времени; если бы он не был частью

времени, то наступил бы покой, и, следовательно, не было бы никакой

скорости; скорость может быть измерена лишь по пространству, пройденному в

некоторую часть времени, а не в конце ее. Если же, кроме того, и в других

физических областях, где вовсе нет никакого движения, как, например, в

действии света (помимо того, что называют его распространением в

пространстве) и в определениях величин у цветов, применяют дифференциальное

исчисление, и первая [производная] функция некоторой квадратной функции

здесь

также именуется скоростью, то это следует рассматривать как еще более

неуместный формализм выдумывания существования.

Движение, изображаемое уравнением s = at2, говорит Лагранж, мы находим

при падении тел; простейшим следующим за ним было бы движение, уравнением

которого было бы s=ct3, но такого рода движения не оказывается в природе; мы

не знали бы, что мог бы означать собой коэффициент с. Если это верно, то,

напротив, имеется движение, уравнение которого - s3 ё at2 - кеплеровский

закон движения тел Солнечной системы. И выяснение того, что здесь должна

означать первая производная функция -у и т. д., а также дальнейшая

непосредственная разработка этого уравнения путем дифференцирования,

открытие законов и определений указанного абсолютного движения, отправляясь

от этой исходной точки, должно бы, конечно, представлять собой интересную

задачу, в решении которой анализ явил бы себя в самом надлежащем блеске.

Само по себе взятое таким образом применение дифференциального исчисления

к элементарным уравнениям движения не представляет никакого реального

интереса; формальный же интерес проистекает из общего механизма исчисления.

Но иное значение приобретает разложение движения в отношении определения его

траектории; если последняя есть кривая и ее уравнение содержит более высокие

степени, то требуются переходы от прямолинейных функций как функций

возведения в степень к самим степеням, а так как первые должны быть выведены

из первоначального уравнения движения, содержащего фактор времени с

элиминированием времени, то этот фактор должен быть также низведен к тем

низшим функциям, которые получаются в результате разложения в ряд и из

которых можно выводить указанные уравнения линейных определений. Эта сторона

возбуждает интерес к другой части дифференциального исчисления.

Сказанное доселе имело своей целью выделить и установить простое

специфическое определение дифференциального исчисления и показать это

определение на некоторых элементарных примерах. Это определение, как

оказалось, состоит в том, что из уравнения степенных функций находят

коэффициент члена разложения, так называемую первую [производную] функцию, и

что отношение, которое она есть, обнаруживают в моментах конкретного

предмета, и посредством полученного таким образом уравнения между обоими

отношениями определяются сами эти моменты. Следует немного рассмотреть и

принцип интегрального исчисления и установить, что получается из его

применения для специфического конкретного определения этого исчисления.

Понимание последнего было нами упрощено и определено более правильно уже

тем, что мы его больше не принимаем за метод суммирования, как его назвали в

противоположность дифференцированию (в котором приращение считается

сущностной составной частью), вследствие чего интегрирование представлялось

находящимся в сущностной связи с формой ряда. - Задача этого исчисления -

прежде всего такая же теоретическая или, скорее, формальная задача, как и

задача дифференциального исчисления, но, как известно, обратная последней.

Здесь исходят из функции, рассматриваемой как производная, как коэффициент

ближайшего члена, получающегося в результате разложения в ряд некоторого,

пока еще неизвестного уравнения, а из этой производной должна быть найдена

первоначальная степенная функция; та функция, которую в естественном порядке

разложения в ряд следует считать первоначальной, здесь производная, а

рассматривавшаяся ранее как производная есть здесь данная или вообще

начальная. Но формальная сторона этого действия представляется уже

выполненной дифференциальным исчислением, так как в последнем установлены

вообще переход и отношение первоначальной функции к функции, получающейся в

результате разложения в ряд. Если при этом отчасти уже для того, чтобы

взяться за ту функцию, из которой следует исходить, отчасти же для того,

чтобы осуществить переход от нее к первоначальной функции, оказывается

необходимым во многих случаях прибегнуть к форме ряда, то следует прежде

всего твердо помнить, что эта форма, как таковая, не имеет непосредственно

ничего общего с собственным принципом интегрирования.

Но другой частью задачи этого исчисления оказывается с точки зрения

формальной стороны действия его применение. А последнее само есть задача

узнать, какое предметное значение в указанном выше смысле имеет

первоначальная функция, [которую мы находим по] данной функции,

рассматриваемой как первая [производная] функция отдельного предмета. Могло

бы казаться, что это учение, взятое само по себе, нашло свое полное

применение уже в дифференциальном исчислении. Однако здесь возникает еще

одно обстоятельство, осложняющее все дело. А именно, так как в этом

исчислении оказывается, что благодаря первой [производной] функции уравнения

кривой получилось некоторое линейное отношение, то тем самым мы также знаем,

что интегрирование этого отношения дает уравнение кривой в виде отношения

абсциссы и ординаты; другими словами, если бы было дано уравнение для

поверхности, образуемой кривой, то дифференциальное исчисление должно было

бы уже научить нас относительно значения первой [производной] функции такого

уравнения, что эта функция представляет ординату как функцию абсциссы, стало

быть, представляет уравнение кривой.

Но все дело здесь в том, какой из моментов определения предмета дан в

самом уравнении; ведь лишь из данного может исходить аналитическое

исследование, чтобы переходить от него к прочим определениям предмета. Дано,

например, не уравнение поверхности, образуемой кривой, и не уравнение тела,

возникающего посредством ее вращения, а также не уравнение некоторой дуги

этой кривой, а лишь отношение абсциссы и ординаты в уравнении самой кривой.

Переходы от указанных определений к самому этому уравнению нельзя уже

поэтому исследовать в самом дифференциальном исчислении; нахождение таких

отношений есть дело интегрального исчисления.

Далее, однако, было показано, что дифференцирование уравнения с

несколькими переменными величинами дает степенной член разложения (die

Entwicklungspotenz) или дифференциальный коэффициент не как уравнение, а

только как отношение; задача состоит затем в том, чтобы в моментах предмета

указать для этого отношения, которое есть производная функция, другое,

равное ему. Предмет же интегрального исчисления - само отношение

первоначальной к производной функции, которая должна быть здесь данной, и

задача состоит в том, чтобы указать значение искомой первоначальной функции

в предмете данной первой [производной] функции или, вернее, так как это

значение, например поверхность, образуемая кривой, или подлежащая

выпрямлению кривая, представляемая в виде прямой, и т. д., уже .выражено как

задача, то требуется показать, что подобного рода определение можно найти

посредством некоторой первоначальной функции, и показать, каков момент

предмета, который для этой цели должен быть принят за исходную (производную)

функцию.

Обычный метод, пользующийся представлением бесконечно малой разности,

облегчает себе задачу. Для квадратуры кривых линий он принимает бесконечно

малый прямоугольник, произведение ординаты на элемент (т. е. на бесконечно

малую часть) ^абсциссы, за трапецию, имеющую одной своей стороной бесконечно

малую дугу, противоположную указанной бесконечно малой части абсциссы.

Произведение это интегрируется в том смысле, что интеграл дает сумму

бесконечно многих трапеций, ту плоскость, которую требуется определить, а

именно конечную величину указанного элемента плоскости. И точно так же

обычный метод образует из бесконечно малой части дуги и соответствующих ей

ординаты и абсциссы прямоугольный треугольник, в котором квадрат этой дуги

считается равным сумме квадратов обоих других бесконечно малых,

интегрирование которых и дает конечную дугу.

Этот прием опирается на то общее открытие, которое служит основой этой

области анализа и которое принимает здесь форму положения, что приведенная к

квадрату кривая, выпрямленная дуга и т. д. находится к известной (данной

уравнением кривой) функции в отношении так называемой первоначальной функции

к производной. Здесь дело идет о том, чтобы в случае, если какая-то часть

математического предмета (например, некоторой кривой) принимается за

производную функцию, узнать, какая другая его часть выражена соответствующей

первоначальной функцией. Мы знаем, что если данная уравнением кривой функция

ординаты, принимается за производную функцию, то соответствующая ей

первоначальная функция есть выражение величины образуемой кривой

поверхности, отрезанной этой ординатой, что если то или иное определение

касательной рассматривается как производная функция, то ее первоначальная

функция выражает величину соответствующей этому определению дуги и т. д.

Однако заботу о том, чтобы узнать и доказать, что эти отношения, отношение

первоначальной функции к производной и отношение величин двух частей или

двух сторон (Umstande) математического предмета, образуют пропорцию, -

заботу об этом снимает с себя метод, пользующийся бесконечно малым и

механически оперирующий им. Характерная для остроумия заслуга - на основании

результатов, уже заранее известных из других источников, открывать, что

некоторые и именно такие-то стороны математического предмета находятся в

отношении первоначальной и производной функции.

Из этих двух функций производная, или, как она была определена выше,

функция возведения в степень, есть здесь, в интегральном исчислении, данная

по отношению к первоначальной функции, которая еще должна быть найдена из

нее путем интегрирования. Однако первая дана не непосредственно, равно как

не дано само по себе, какую часть или какое определение математического

предмета должно рассматривать как производную функцию, дабы, приводя ее к

первоначальной функции, найти другую часть или другое определение

[предмета], установить величину которого требует задача. Обычный метод,

сразу же представляющий, как мы сказали, некоторые части предмета как

бесконечно малые в форме производных функций, определимых из первоначально

данного уравнения предмета вообще посредством дифференцирования (как,

[например], для выпрямления кривой - бесконечно малые абсциссы и ординаты),

принимает за таковые те части или определения, которые можно привести в

такую связь с предметом задачи (в нашем примере с дугой), также

представляемым как бесконечно малый, которая установлена элементарной

математикой, благодаря чему, если /известны упомянутые части, определяется и

та часть, величину которой требуется найти; так, для выпрямления кривой

приводятся в связь в виде уравнения прямоугольного треугольника указанные

выше три бесконечно малых, для [ее] квадратуры приводятся в связь некоторого

произведения ордината и бесконечно малая абсцисса, причем поверхность вообще

принимается арифметически за произведение линий. Переход от этих так

называемых элементов поверхности, дуги и т. д. к величине самих

поверхностей, дуги и т. д. считается в этом случае лишь восхождением от

бесконечного выражения к конечному или к сумме бесконечно многих элементов,

из которых, согласно предположению, состоит искомая величина.

Можно поэтому сказать, не вникая в суть, что интегральное исчисление -

это лишь обратная, но вообще более трудная задача дифференциального

исчисления. Дело обстоит скорее так, что реальный интерес интегрального

исчисления направлен исключительно на взаимное отношение первоначальной и

производной функции в конкретных предметах.

Лагранж и в этой части исчисления не соглашался отделаться от трудности

проблем легким способом, основанным на указанных выше прямых допущениях. Для

разъяснения сущности дела будет полезно привести здесь также и некоторые

подробности его метода на немногих примерах. Этот метод ставит себе задачей

как раз особо доказать, что между отдельными определениями некоторого

математического целого, например некоторой кривой, имеется отношение

первоначальной функции к производной. Но в силу природы самого отношения,

приводящего в связь в некотором математическом предмете кривые с прямыми

линиями, линейные измерения и функции с поверхностно-плоскостными

измерениями и их функцией и т. д., приводящего, следовательно, в связь

качественно разное, это нельзя выполнить прямым путем, и определение, таким

образом, можно понимать лишь как середину между чем-то большим и чем-то

меньшим. Благодаря этому, правда, само собой вновь появляется форма

приращения с плюсом и минусом, и бодрое "developpons" ["развернем в ряд"]

снова очутилось на своем месте; но мы уже говорили о том, что приращения

имеют здесь лишь арифметическое значение, значение чего-то конечного. Из

анализа (Entwicklung) того условия, что определимая величина больше легко

определяемого предела и меньше другого предела, выводится, например, что

функция ординаты есть первая производная функция к функции плоскости.

Выпрямление кривых по способу Лагранжа, который исходит при этом из

архимедовского принципа, заслуживает внимания тем, что оно проливает свет на

перевод архимедовского метода в принцип новейшего анализа, а это позволяет

бросить взгляд на суть и истинный смысл действия, механически производимого

другим путем. Способ действия по необходимости аналогичен только что

указанному способу. Архимедовский принцип, согласно которому дуга кривой

больше соответствующей ей хорды и меньше суммы двух касательных, проведенных

в конечных точках дуги, поскольку эти касательные заключены между этими

точками и точкой их пересечения, не дает прямого уравнения. Переводом этого

архимедовского основного определения в новейшую аналитическую форму служит

изобретение такого выражения, которое, взятое само по себе, есть простое

основное уравнение, между тем как указанная форма лишь выставляет требование

продвигаться в бесконечность между слишком большим и слишком малым, которые

каждый раз обретают определенность, и это продвижение опять-таки приводит

лишь к новому слишком большому и к новому слишком малому, однако во все

более узких границах. Посредством формализма бесконечно малых сразу же

получается уравнение dz2 =dx2 + dy2. Лагранжево изложение, исходя из

названной нами основы, доказывает, напротив, что величина дуги есть

первоначальная функция к некоей производной функции, характерный член

которой сам есть функция отношения производной функции к первоначальной

функции ординаты.

Так как в способе Архимеда, так же как позднее в исследовании Кеплером

стереометрических предметов, имеется представление о бесконечно малом, то на

это обстоятельство очень часто ссылались как на довод в пользу применения

этого представления в дифференциальном исчислении, причем не выделялись

характерные и отличительные черты. Бесконечно малое означает прежде всего

отрицание определенного количества, как такового, т. е. так называемого

конечного выражения, той завершенной определенности, которой обладает

определенное количество, как таковое. Точно так же в последующих знаменитых

методах Валериуса, Кавальери и других, основывающихся на рассмотрении

отношений геометрических предметов, основное определение - это положение о

том, что определенным количеством как определенным количеством таких

определений, которые рассматриваются прежде всего лишь как отношения,

пренебрегают для этой цели, и эти определения должны быть поэтому приняты за

неимеющие величины (Nicht-Grosses). Но этим, с одной стороны, не познано и

не выделено то утвердительное вообще, которое находится за чисто

отрицательным определением и которое выше оказалось, говоря абстрактно,

качественной определенностью величины, состоящей, говоря более определенно,

в степенном отношении; с другой стороны, поскольку само это отношение в свою

очередь включает в себя множество более точно определенных отношений, как,

например, отношение между степенью и функцией, получающейся в результате ее

разложения в ряд, они должны были бы быть в свою очередь основаны на

всеобщем и отрицательном определении того же бесконечно малого и выведены из

него. В только что приведенном изложении Лагранжа найдено то определенное

утвердительное, которое заключается в архимедовом способе изложения задачи,

и тем самым приему, обремененному неограниченным выхождением, дана его

настоящая граница. Величие новейшего изобретения, взятого само по себе, и

его способность разрешать трудные до того времени задачи, а те задачи,

которые и ранее были разрешимы, разрешать простым способом, - это величие

следует усматривать единственно в открытии отношения первоначальной функции

к так называемой производной функции и тех частей математического целого,

которые находятся в таком отношении.

Данное нами изложение взглядов можно считать достаточным для того, чтобы

подчеркнуть характерное свойство того отношения величин, которое служит

предметом рассматриваемого здесь особого вида исчисления. Излагая эти

взгляды, мы могли ограничиться простыми задачами и способом их решения; и не

было бы ни целесообразно для определения понятия (а дело идет здесь

единственно об этом определении), ни под силу автору обозреть всю сферу так

называемого применения дифференциального и интегрального исчисления и

индукцию, согласно которой указанный нами принцип лежит в основе этих видов

исчисления, ; завершить посредством сведения всех их задач и решений

последних к этому принципу. Но изложение достаточно показало, что, как

каждый особый вид исчисления имеет своим предметом особую определенность или

особое отношение величины и это отношение конституирует сложение, умножение,

возведение в степень и извлечение корня, счет посредством логарифмов, рядов

и т. д. - точно так же обстоит дело и с дифференциальным и интегральным

исчислением; для присущего этому исчислению отношения наиболее подходящим

названием было бы отношение степенной функции к функции ее разложения или

возведения в степень, так как это название всего ближе к пониманию сущности

дела. Но как в этом исчислении вообще применяются также действия в

соответствии с другими отношениями величин, например сложение и т. д., так в

нем применяются и отношения логарифмов, круга и рядов, в особенности для

того, чтобы сделать более удобными выражения ради требуемых действий

выведения первоначальных функций из функций, получающихся в результате

разложения в ряд. Дифференциальное и интегральное исчисление имеет, правда,

ближайший общий с формой ряда интерес - определить те разлагаемые функции,

которые в рядах называются коэффициентами членов; но в то время, как интерес

этого исчисления направлен лишь на отношение первоначальной функции к

ближайшему коэффициенту ее разложения, ряд стремится представить некоторую

сумму в виде множества членов, расположенного по степеням, снабженным этими

коэффициентами. Бесконечное, имеющееся в бесконечном ряде, неопределенное

выражение отрицательности определенного количества вообще, не имеет ничего

общего с утвердительным определением, находящимся в бесконечном этого

исчисления. Точно так же бесконечно малое как приращение, посредством

которого разложение принимает форму ряда, есть лишь внешнее средство для

такого разложения, и его так называемая бесконечность не имеет никакого

другого значения, кроме значения такого средства; так как ряд на самом деле

не есть тот ряд, который требуется, то он приводит к некоторой избыточности,

вновь устранить которую стоит лишнего труда. От этого лишнего труда не

свободен и метод Лагранжа, который вновь прибег главным образом к форме

ряда, хотя в том, что называют применением, благодаря этому методу

проявляется подлинное отличительное свойство [высшего анализа], так как, не

втискивая в предметы форм dx, dy и т. д., метод Лагранжа прямо указывает ту

часть [этих предметов], которой присуща определенность производной функции

(функции разложения), и этим обнаруживает, что форма ряда здесь вовсе не то,

о чем идет речь.

Примечание 3

Еще другие формы, связанные с качественной определенностью величины

Бесконечно малое дифференциального исчисления дано в своем утвердительном

смысле как качественная определенность величины, а относительно нее было

подробно показано, что в этом исчислении она наличествует не только как

степенная определенность вообще, но как особенная степенная определенность

отношения некоторой степенной функции к степенному члену разложения. Но

качественная определенность имеется еще и в другой, так сказать, более

слабой форме, и эту последнюю, равно как связанное с ней применение

бесконечно малых и их смысл в этом применении, следовало бы еще рассмотреть

в настоящем примечании.

Исходя из предшествующего, мы должны относительно этого сперва напомнить,

что различные степенные определения выступают здесь с аналитической стороны

прежде всего лишь как формальные и совершенно однородные, означают числовые

величины, которые, как таковые, не имеют указанного выше качественного

различия между собой. Но в применении к пространственным предметам

аналитическое отношение показывает себя во всей своей качественной

определенности как переход от линейных к плоскостным определениям, от

прямолинейных - к криволинейным определениям и т. д. Это применение, кроме

того, приводит к тому, что пространственные предметы, согласно своей природе

данные в форме непрерывных величин, постигаются как дискретные, - плоскость,

значит, как множество линий, линия - как множество точек и т. д.

Единственный интерес такого разложения состоит в определении самих точек, на

которые разлагается линия, линий, на которые разлагается плоскость, и т. д.,

чтобы, исходя из такого определения, иметь возможность двигаться далее

аналитически, т. е., собственно говоря, арифметически; эти исходные пункты

суть для искомых определений величины те элементы, из которых следует

вывести функцию и уравнение для конкретного - для непрерывной величины. Для

решения задач, в которых особенно целесообразно пользоваться этим приемом,

требуется в элементе в качестве исходного пункта нечто само по себе

определенное, в противоположность косвенному методу, поскольку последний

может, напротив, начинать лишь с пределов, в которых имеется то само по себе

определенное, нахождение которого он ставит себе целью. Результат сводится в

обоих методах к одному и тому же, если только возможно найти закон идущего

все дальше процесса определения, при отсутствии возможности достигнуть

полного, т. е. так называемого конечного определения. Кеплеру приписывается

честь, что ему впервые пришла в голову мысль прибегнуть к такому обратному

способу решения и сделать исходным пунктом дискретное. Его объяснение того,

как он понимает первую теорему Архимедова измерения круга, выражает это

очень просто. Первая теорема Архимеда, как известно, гласит, что круг равен

прямоугольному треугольнику, один катет которого равен радиусу, а другой -

длине окружности. Так как Кеплер понимает эту теорему так, что окружность

круга содержит столько же частей, сколько точек, т. е. бесконечно много, из

которых каждую можно рассматривать как основание равнобедренного

треугольника, и т. д., то он этим выражает разложение непрерывного в форму

дискретного. Встречающийся здесь термин бесконечное еще очень далек от того

определения, которое он должен иметь в дифференциальном исчислении. - Если

для таких дискретных найдена некоторая определенность, функция, то в

дальнейшем они должны быть соединены, должны служить главным образом

элементами непрерывного. Но так как никакая сумма точек не образует линии,

никакая сумма линий не образует плоскости, то точки уже с самого начала

принимаются за линейные, равно как линии - за плоскостные. Однако, так как

вместе с тем указанные линейные точки еще не должны быть линиями, чем они

были бы, если бы их принимали за определенные количества, то их представляют

как бесконечно малые. Дискретное способно лишь к внешнему соединению, в

котором моменты сохраняют смысл дискретных "одних"; аналитический переход от

последних совершается лишь к их сумме, он не есть в то же время

геометрический переход от точки к линии и от линии к плоскости и т. д.

Элементу, имеющему свое определение как точка или как линия, придается

поэтому в первом случае еще и качество линейности, а во втором - еще и

качество плоскости, дабы сумма как сумма малых линий оказалась линией, а как

сумма малых плоскостей - плоскостью.

Потребность получить этот момент качественного перехода и для этого

обратиться к бесконечно малым необходимо рассматривать как источник всех

представлений, которые, долженствуя устранить указанную трудность, сами по

себе составляют величайшую трудность. Чтобы не прибегать к этим крайним

средствам, необходимо было бы иметь возможность показать, что в самом

аналитическом приеме, представляющемся простым суммированием, на самом деле

уже содержится умножение. Но здесь появляется новое допущение, составляющее

основу в этом применении арифметических отношений к геометрическим фигурам,

а именно допущение, что арифметическое умножение есть также и для

геометрического определения переход к некоторому высшему измерению, что

арифметическое умножение величин, представляющих собой по своим

пространственным определениям линии, есть в то же время продупирование

плоскостного определения из линейного; трижды 4 линейных фута дают 12

линейных футов, но 3 линейных фута, помноженные на 4 линейных фута, дают 12

плоскостных футов, и притом квадратных футов, так как в обоих как дискретных

величинах единица - одна и та же. Умножение линий на линии представляется

сначала чем-то бессмысленным, поскольку умножение производится вообще над

числами, т. е. оно такое их изменение, при котором они совершенно однородны

с тем, во что они переходят, - с произведением, и изменяют лишь величину.

Напротив, то, чтб называлось бы умножением линии, как таковой, на линию -

это действие называли ductus lineae in lineam, равно как plani in planum,

оно есть также ductus puncti in lineam, - есть не просто изменение величины,

но изменение ее как качественного определения пространственности, как

измерения; переход линии в плоскость следует понимать как выход первой вовне

себя, равно как выход точки вовне себя есть линия, выход плоскости вовне

себя - некоторое целое пространство. То же самое получается, когда

представляют, что движение точки образует (ist) линию и т. д.; но движение

подразумевает определение времени и поэтому выступает в этом представлении

(скорее лишь как случайное, внешнее изменение состояния; здесь же мы должны

брать ту определенность понятия, которую мы (сформулировали как выход вовне

себя - качественное изменение - и которая арифметически есть умножение

единицы (как точки и т. д.) на численность (на линию и т. д.). - К этому

можно |еще прибавить, что при выходе плоскости вовне себя, что

представлялось бы умножением площади на площадь, возникает [видимость

различия между арифметическим и геометрическим [продуцированном таким

образом, что выход плоскости вовне себя |как ductus plani in planum давал бы

арифметически умножение второго измерения (Dimensionsbestimmung) на второе,

следовательно, четырехмерное произведение, которое, однако, геометрическим

определением понижается до трехмерного. Если, с одной стороны, число, имея

своим принципом единицу, дает твердое определение для внешне

количественного, то, с другой стороны, свойственное числу продуцирование

настолько же формально, взятое как числовое определение, помноженное само на

себя, есть 3 3 3 3; но та же величина, помноженная на себя как плоскостное

определение, удерживается на 3*3*3, так как пространство, [представляемое

как выход за свои пределы, начинающийся с точки, этой лишь абстрактной

границы, имеет как конкретную определенность, начинающуюся с линии, свою

истинную границу в третьем измерении. Упомянутое выше различие могло бы

иметь действительное значение для свободного движения, в котором одна

сторона, пространственная, определяется геометрически (в законе Кеплера - s3

: t2), а другая, временная - арифметически. В чем состоит отличие

рассматриваемого здесь качественного от предмета предыдущего примечания,

теперь само собой ясно и без дальнейших объяснений. В предыдущем примечании

качественное заключалось в степенной определенности; здесь же это

качественное, равно как и бесконечно малое, дано лишь как множитель (в

арифметике) относительно произведения, как точка относительно линии, линия

относительно плоскости и т. д. Необходимый качественный переход от

дискретного, на которое, как представляется, разложена непрерывная величина,

к непрерывному осуществляется как суммирование.

Но что мнимое простое суммирование на самом деле содержит в себе

умножение, следовательно, переход от линейного к плоскостному определению,

это проще всего обнаруживается в том способе, каким, например, показывают,

что площадь трапеции равна произведению суммы ее двух параллельных сторон на

половину высоты. Эта высота представляется лишь как численность некоторого

множества дискретных величин, которые должны быть суммированы. Эти величины

суть линии, лежащие параллельно между теми двумя ограничивающими [трапецию]

параллельными линиями; их бесконечно много, ибо они должны составлять

плоскость, но они линии, которые, следовательно, для того чтобы быть чем-то

плоскостным, должны быть вместе с тем положены с отрицанием. Чтобы избежать

трудности, заключающейся в том, что сумма линий должна дать [в результате]

плоскость, линии сразу же принимаются за плоскости, но равным образом за

бесконечно тонкие, ибо они имеют свое определение исключительно в линейности

параллельных границ трапеции. Как параллельные и ограниченные другой парой

прямолинейных сторон трапеции они могут быть представлены как члены

арифметической прогрессии, разность которой остается вообще той же, но не

обязательно должна быть определена, а первый и последний член которой суть

указанные две параллельные линии; сумма такого ряда равна, как известно,

произведению этих параллельных линий на половинную численность членов. Это

последнее определенное количество называется численностью только лишь в

сравнении с представлением о бесконечно многих линиях; оно вообще есть

определенность величины чего-то непрерывного - высоты. Ясно, что то, что

называется суммой, есть также ductus lineae in lineam, умножение линейного

на линейное, согласно вышеуказанному определению - возникновение

плоскостного. В простейшем случае, в прямоугольнике, каждый из множителей аЬ

есть простая величина; но уже в другом, даже элементарном примере трапеции

лишь один множитель есть простая величина половины высоты, другой же

определяется через прогрессию; он также есть некоторое линейное, но такое

линейное, определенность величины которого оказывается более запутанной;

поскольку она может быть выражена лишь посредством ряда, ее аналитический,

т. е. арифметический, интерес состоит в ее суммировании; геометрический же

момент здесь - умножение, качественная сторона перехода от линейного

измерения к плоскостному; один из множителей принимается за дискретный лишь

в целях арифметического определения другого, а сам по себе он подобно

последнему есть линейная величина.

Способ, при котором представляют плоскость как сумму линий, применяется,

однако, часто и тогда, когда для достижения результата не производят

умножения, как такового. Так поступают, когда важно указать величину как

определенное количество не в уравнении, а в пропорции. Что площадь круга

относится к площади эллипса, большая ось которого равна диаметру этого

круга, как большая ось к малой, доказывается, как известно, так, что каждая

из этих площадей принимается за сумму принадлежащих ей ординат; каждая

ордината эллипса относится к соответствующей ординате круга как малая ось к

большой, из чего заключают, что так же относятся между собой и суммы

ординат, т. е. площади.

Те, кто при этом хочет избежать представления о плоскости как сумме

линий, превращают с помощью обычного, совершенно излишнего вспомогательного

приема ординаты в трапеции бесконечно малой ширины; так как [здесь]

уравнение есть лишь пропорция, то [при этом ] сравнивается лишь один из двух

линейных элементов площади. Другой элемент площади - ось абсцисс -

принимается в эллипсе и круге за равный, как множитель арифметического

определения величины, следовательно, как равный 1, и поэтому пропорция

оказывается всецело зависящей только от отношения одного определяющего

момента. Чтобы представить плоскость, требуются два измерения; но

определение величины, как оно должно быть дано в этой пропорции, касается

только одного момента; поэтому уступка или помощь представлению тем, что к

этому одному моменту присоединяют представление суммы, есть, собственно

говоря, непонимание того, что здесь необходимо для математической

определенности.

Данные здесь пояснения служат также критерием упомянутого выше метода

неделимых, предложенного Кавальери; метод этот также оправдан этими

пояснениями, и ему нет надобности прибегать к помощи бесконечно малых. Эти

неделимые суть для Кавальери линии, когда он рассматривает площади или

квадраты, площади кругов, когда он рассматривает пирамиду или конус, и т.

д.; основную линию или основную площадь, принимаемую за определенную, он

называет правилом. Это константа, а по своему отношению к ряду это его

первый или последний член; неделимые рассматриваются как параллельные ей,

следовательно, по отношению к фигуре определяются одинаково. Общее

основоположение Кавальери гласит (Exerc. geometr. VI - позднейшее сочинение

Exerc. I, р. 6), что "все фигуры, и плоские, и телесные, относятся друг к

другу, как все их неделимые, причем эти неделимые сравниваются122 между

собой совокупно, а если у них есть какая-либо общая пропорция, то в

отдельности". - Для этой цели он сравнивает в фигурах, имеющих одинаковые

основание и высоту, пропорции между линиями, проведенными параллельно

основанию и на равном расстоянии от него; все такие линии некоторой фигуры

имеют одинаковое определение и составляют всю ее площадь. Так Кавальери

доказывает, например, и ту элементарную теорему, что параллелограммы,

имеющие одинаковую высоту, относятся между собой, как их основания; каждые

две линии, проведенные в обеих фигурах на одинаковом расстоянии от основания

и параллельные ему, относятся между собой, как основания этих фигур;

следовательно, так же относятся между собой и целые фигуры. В

действительности линии не составляют площади фигуры как непрерывной, а

составляют эту площадь, поскольку она должна быть определена арифметически;

линейное - это тот ее элемент, единственно лишь посредством которого должна

быть постигнута ее определенность.

Это заставляет нас поразмыслите о различии [в мнениях] относительно того,

в чем состоит определенность какой-нибудь фигуры, а именно эта

определенность или такова, какова в данном случае высота фигуры, или она

внешняя граница. Поскольку она дана как внешняя граница, допускают, что

непрерывность фигуры, так сказать, следует равенству или отношению границы;

например, равенство совпадающих фигур основывается на совпадении

ограничивающих их линий. Но в параллелограммах с одинаковой высотой и

основанием лишь последняя определенность есть внешняя граница. Высота, а не

вообще параллельность, на которой основано второе главное определение фигур,

их отношение, прибавляет к внешней границе второй принцип определения.

Эвклидово доказательство равенства параллелограммов, имеющих одинаковую

высоту и основание, приводит их к треугольникам, к внешне ограниченным

непрерывным; в доказательстве же Кавальери, и прежде всего в доказательстве

пропорциональности параллелограммов, граница есть вообще определенность

величины, как таковая, обнаруживающаяся в любой паре линий, проведенных в

обеих фигурах на одинаковом расстоянии. Эти равные или находящиеся в равном

отношении к основанию линии, взятые совокупно, дают находящиеся в равном

отношении фигуры. Представление об агрегате линий противоречит непрерывности

фигуры; но рассмотрение линий полностью исчерпывает ту определенность, о

которой идет речь. Кавальери часто отвечает на то возражение, будто

представление о неделимых приводит к тому, что должны быть сравнимы между

собой бесконечные по численности линии или поверхности (Geom., lib. II,

prop. I, schol.); он проводит правильное различие, говоря, что он сравнивает

между собой не их численность, которую мы не знаем, правильнее сказать, не

их численность, которая, как мы отметили выше, есть пустое вспомогательное

представление, а лишь величину, т. е. количественную определенность, как

таковую, которая равна занимаемому этими линиями пространству; так как

последнее заключено в границах, то и эта его величина заключена в тех же

границах; непрерывное, говорит он, есть не что иное, как сами неделимые;

если бы оно было нечто находящееся вне их, то оно было бы несравнимо; но

было бы нелепо сказать, что ограниченные непрерывные несравнимы между собой.

Как видим, Кавальери хочет провести различие между тем, чти принадлежит к

внешнему существованию непрерывного, и тем, в чем состоит его определенность

и что единственно и следует выделять для сравнения и в целях получения

теорем о нем. Категорий, которыми он пользуется при этом, говоря, что

непрерывное сложено из неделимых или состоит из них и т. п., конечно,

недостаточно, так как при этом прибегают также к созерцанию непрерывного

или, как мы сказали выше, к его внешнему существованию; вместо того чтобы

сказать, что "НЕпрерывное есть не что иное, как сами неделимые", было бы

правильнее и, стало быть, само собой ясно сказать, что определенность

величины непрерывного есть не что иное, как определенность величины самих

неделимых. - Кавальери не придает никакого значения сомнительному выводу,

что существуют-де большие и меньшие бесконечные, выводу, делаемому

схоластикой из представления, что неделимые составляют непрерывное, и он

определенно выражает далее (Geom., lib. VII, praef.) уверенность в том, что

его способ доказательства вовсе не заставляет иметь представление о

непрерывном как о сложенном из неделимых; непрерывные лишь следуют пропорции

неделимых. - Кавальери говорит, что он берет агрегаты неделимых не с той

стороны, с какой они кажутся подпадающими под определение бесконечности

из-за бесконечного множества линий или плоскостей, а поскольку они имеют в

самих себе некоторый определенный характер и природу ограниченности. Но

чтобы устранить и этот камень преткновения, он в специально для этого

добавленной седьмой книге не жалеет труда доказать основные теоремы своей

геометрии таким способом, который остается свободным от примеси

бесконечности. - Этот способ сводит доказательства к упомянутой выше обычной

форме наложения фигур, т. е., как мы уже отметили, к представлению об

определенности как о внешней пространственной границе.

Относительно этой формы наложения можно прежде всего сделать еще и то

замечание, что она вообще есть, так сказать, ребяческая помощь чувственному

созерцанию. В элементарных теоремах о треугольниках представляют их два

рядом, и, поскольку в каждом из них из шести частей те или иные три

принимаются равными по величине соответствующим трем частям другого

треугольника, показывается, что такие треугольники совпадают между собой, т.

е. что каждый из них имеет и остальные три части равными по величине частям

другого, так как они ввиду равенства трех первых частей совпадают друг с

другом. Формулируя это более абстрактно, можно сказать, что именно в силу

равенства каждой пары соответствующих друг другу частей обоих треугольников

имеется только один треугольник; в последнем три части принимаются за уже

определенные, из чего следует определенность также и трех остальных частей.

Таким образом, показывается, что в трех частях определенность завершена;

стало быть, для определенности, как таковой, три остальные части оказываются

излишеством - излишеством чувственного существования, т. е. созерцания

непрерывности. Высказанная в такой форме качественная определенность

выступает здесь в [своем] отличии от того, что предлежит в созерцании, от

целого как некоторого непрерывного внутри себя; совпадение мешает осознать

это различие.

Вместе с параллельными линиями и в параллелограммах появляется, как мы

отметили, новое обстоятельство: отчасти равенство одних только углов,

отчасти же высота фигур, от которой отличны внешние границы последних,

стороны параллелограммов. При этом возникает сомнение, следует ли в этих

фигурах - кроме определенности одной стороны, основания, которое дано как

внешняя граница, - принимать в качестве другой определенности другую внешнюю

границу (а именно другую сторону параллелограмма) или высоту? Если даны две

такие фигуры, имеющие одинаковое основание и высоту, причем одна из них

прямоугольная, а другая с очень острыми углами (и, стало быть, с очень

тупыми противолежащими углами), то последняя фигура легко может показаться

созерцанию большей, чем первая, поскольку созерцание берет предлежащую

большую сторону ее как определяющую и поскольку оно по способу представления

Кавальери сравнивает площади по тому или иному множеству параллельных линий,

которыми они могут быть пересечены; [согласно этому способу представления ],

большую сторону [остроугольного параллелограмма] можно было бы рассматривать

как возможность большего количества линий, чем у вертикальной стороны

прямоугольника. Однако такое представление не служит возражением против

метода Кавальери; ибо множество параллельных линий, представляемое в этих

двух параллелограммах для сравнения, предполагает в то же время одинаковость

их расстояний друг от друга или от основания, из чего следует, что другим

определяющим моментом служит высота, а не другая сторона параллелограмма. Но

далее это меняется, когда мы сравниваем между собой два параллелограмма,

имеющие одинаковые основание и высоту, но лежащие не в одной плоскости и

образующие с третьей плоскостью разные углы; здесь параллельные сечения;

возникающие, когда представляют себе их пересеченными третьей плоскостью,

движущейся параллельно себе самой, уже не одинаково удалены одно от другого,

и эти две плоскости неравны между собой. Кавальери обращает особое внимание

на это различие, которое он определяет как различие между transitus rectus и

transitus obliquus неделимых (как в Exercit. I n. XII ел., так уже в

Geometr. I, II), и этим он устраняет поверхностное недоразумение, могущее

возникнуть с этой стороны. Я припоминаю, что Барроу в своем упомянутом выше

сочинении (Lect. geom., II, р. 21), хотя также пользуется методом неделимых,

но, нарушая его чистоту, соединяет его с перешедшим от него к его ученику

Ньютону и к другим современным ему математикам, в том числе и к Лейбницу,

признанием возможности приравнять криволинейный треугольник, как, например,

так называемый характеристический, прямолинейному, поскольку оба бесконечно,

т. е. очень малы, - я припоминаю, что Барроу приводит подобное возражение

Такэ остроумного геометра того времени, также пользовавшегося новыми

методами. Имеющееся у последнего сомнение касается также вопроса о том,

какую линию - а именно при вычислении конических и сферических поверхностей

- следует принимать за основной момент определения для рассуждения,

основанного на применении дискретного. Такэ возражает против метода

неделимых, утверждая, что при вычислении поверхности прямоугольного конуса

по этому атомистическому методу треугольник, [получаемый при продольном

рассечении] конуса, изображается составленным из прямых, параллельных

основанию линий, перпендикулярных к оси и представляющих собой в то же время

радиусы тех кругов, из которых состоит поверхность конуса. Если же эта

поверхность определяется как сумма окружностей, а эта сумма определяется из

численности их радиусов, т. е. из длины оси конуса, из его высоты, то

получаемый результат противоречит сформулированной и доказанной еще

Архимедом истине. В ответ на это возражение Барроу показывает, что для

определения поверхности конуса не его ось, а сторона треугольника,

[получаемого при продольном рассечении] конуса, должна быть принята за ту

линию, вращение которой образует эту поверхность и которая, а не ось, должна

поэтому считаться определенностью величины для множества окружностей.

Подобного рода возражения или сомнения имеют своим источником единственно

лишь обыденное неопределенное представление, согласно которому линия состоит

из бесконечного множества точек, плоскость - из бесконечного множества

линий, и т. д.; этим представлением затушевывается сущностная определенность

величины линий или плоскостей. - Целью настоящих примечаний было раскрыть те

утвердительные определения, которые при различном применении бесконечно

малых в математике остаются, так сказать, на заднем плане, и освободить их

от того тумана, в который их закутывает эта считающаяся чисто отрицательной

категория. В бесконечном ряде, как, например, в Архимедовом измерении круга,

"бесконечность" означает только то, что закон дальнейшего определения

известен, но так называемое конечное, т. е. арифметическое выражение, не

дано, сведение дуги к прямой линии не осуществимо; эта несоизмеримость есть

их качественное различие. Качественное различие дискретного и непрерывного

вообще содержит также и отрицательное определение, ввиду которого они

выступают как несоизмеримые и которое влечет за собой бесконечное в том

смысле, что непрерывное, долженствующее быть принятым за дискретное, по

своей непрерывной определенности не должно уже иметь определенное

количество. Непрерывное, которое арифметически должно быть принято за

произведение, тем самым полагается в самом себе дискретным, а именно

разлагается на те элементы, которые составляют его множители; в этих

множителях заключается определенность его величины; и именно потому, что они

суть эти множители или элементы, они имеют низшее измерение, а поскольку

появляется степенная определенность, имеют более низкую степень, чем та

величина, элементами и множителями которой они служат. Арифметически это

различие обнаруживается как чисто количественное различие, как различие

корня и степени или какой-нибудь другой степенной определенности. Но если

это выражение имеет в виду лишь количественное, как таковое, например, а :

а2 или а-а2 = 2а : а2 = 2 : а, или для закона падения тел t: at1, то оно

дает лишь ничего не говорящие отношения 1 : а, 2 : а, 1: at; в

противоположность своему чисто количественному определению члены отношения

должны были быть удержаны врозь своим различным качественным значением, как,

например, s : аt2, где величина выражена как некоторое качество, как функция

величины некоторого другого качества. При этом сознание имеет перед собой

лишь количественную определенность, над которой легко производятся

подобающие действия, и можно спокойно умножать величину одной линии на

величину другой; но в результате умножения этих самых величин получается

также качественное изменение - переход линии в плоскость, поскольку

появляется некоторое отрицательное определение; оно и вызывает ту трудность,

которую можно устранить, если уразуметь особенность этого определения и

простую суть дела; но введением бесконечного, от которого ожидается ее

устранение, эта трудность скорее только запутывается еще больше и

оставляется совершенно непреодоленной.

Глава третья

КОЛИЧЕСТВЕННОЕ ОТНОШЕНИЕ (DAS QUANTITATIVE VERHALTNIS)

Бесконечность определенного количества была определена выше так, что она

есть его отрицательное потустороннее, которое, однако, оно имеет в самом

себе. Это потустороннее есть качественное вообще. Бесконечное определенное

количество как единство обоих моментов - количественной и качественной

определенностей - есть прежде всего отношение.

В отношении определенное количество уже не обладает лишь безразличной

определенностью, а качественно определено как всецело соотнесенное со своим

потусторонним. Оно продолжает себя, переходя в свое потустороннее; последнее

есть прежде всего некоторое другое определенное количество вообще. Но по

своему существу они не соотнесены друг с другом как внешние определенные

количества, а каждое имеет свою определенность в этом соотношении с иным.

Они, таким образом, в этом своем инобытии возвращены в себя; то, что каждое

из них есть, оно есть в ином; иное составляет определенность каждого из них.

- Смысл выхождения определенного количества за свои пределы состоит теперь,

стало быть, не в том, что оно изменяется лишь в некоторое иное

или в свое абстрактное иное, в свое отрицательное потустороннее, а в том,

что в этом ином оно достигает своей определенности; оно находит само себя в

своем потустороннем, которое есть некое другое определенное количество.

Качество определенного количества, определенность его понятия - это его

внешность вообще, в отношении же оно положено так, что оно имеет свою

определенность в своей внешности, в некоем другом определенном количестве,

есть в своем потустороннем то, что оно есть.

Именно определенные количества обладают тем соотношением между собой,

которое здесь получилось. Само это соотношение также есть некоторая

величина. Определенное количество не только находится в отношении, но оно

само положено как отношение; оно некоторое определенное количество вообще,

имеющее указанную качественную определенность внутри себя. Таким образом,

как отношение оно выражает себя как замкнутую в себе тотальность и свое

безразличие к границе выражает тем, что внешность своей определенности оно

имеет внутри самого себя и в этой внешности соотнесено лишь с собой и,

следовательно, бесконечно в самом себе.

Отношение вообще есть

1) прямое отношение. В нем качественное еще не выступает наружу, как

таковое, само по себе. Оно положено здесь пока что только в виде (Weise)

определенного количества, положено имеющим свою определенность в самой своей

внешности. - Количественное отношение есть в себе противоречие между

внешностью и соотношением с самим собой, между устойчивым существованием

определенных количеств и отрицанием их. Это противоречие снимает себя,

поскольку прежде всего

2) в непрямом отношении полагается отрицание одного определенного

количества, как таковое, также при изменении другого и изменчивость самого

прямого отношения;

3) в степенном же отношении соотносящаяся в своем различии с самой собой

единица выступает как простое самопродуцирование определенного количества.

И, наконец, само это качественное, положенное в простом определении и как

тождественное с определенным количеством, становится мерой.

О природе излагаемых ниже отношений многое уже было сказано в предыдущих

примечаниях, касающихся бесконечного в количестве, т. е. качественного

момента в последнем; остается поэтому лишь разъяснить абстрактное понятие

этих отношений.

А. ПРЯМОЕ ОТНОШЕНИЕ (DAS DKEKTE VERHALTHIS)

1. В отношении, которое как непосредственное есть прямое отношение,

определенность одного определенного количества заключается в определенности

другого определенного количества и наоборот. Имеется лишь одна

определенность или граница обоих, которая сама есть определенное количество,

- показатель (Exponent) отношения.

2. Показатель есть некоторое определенное количество. Но в своей

внешности он соотносящий с собой в самом себе качественно определенный квант

лишь постольку, поскольку он в самом себе имеет отличие от себя, свое

потустороннее и инобытие. Но это различие определенного количества в самом

себе есть различие единицы и численности; единица есть самостоятельная

определенность (Fur sich Bestimmtsein), численность же - безразличное

движение по отношению к определенности, внешнее безразличие определенного

количества. Единица и численность были сначала моментами определенного

количества; теперь в отношении, поскольку оно реализованное определенное

количество, каждый из его моментов выступает как собственное определеннное

количество, и оба - как определения его наличного бытия, как ограниченная по

отношению к определенности величины, которая помимо этого есть лишь внешняя,

безразличная определенность.

Показатель есть это различие как простая определенность, т. е. он имеет

непосредственно в самом себе значение обоих определений. Он есть, во-первых,

определенное количество; в этом смысле он численность; если один из членов

отношения, принимаемый за единицу, выражен численной единицей -а ведь он

считается лишь таковой единицей, - то другой член, численность, есть

определенное количество самого показателя. Во-вторых, показатель есть

простая определенность как качественное в членах отношения; если

определенное количество одного из членов определено, то и другое

определенное количество определено показателем, и совершенно безразлично,

как определяется первое; оно как определенный сам по себе квант не имеет уже

никакого значения и может с таким же успехом быть также любым другим

определенным количеством, не изменяя этим определенности отношения, которая

зависит только от показателя. Одно определенное количество, принимаемое за

единицу, как бы велико оно ни стало, всегда остается единицей, а другое

определенное количество, как бы велико оно при этом ни стало, непременно

должно оставаться одной и той же численностью указанной единицы.