1. Бесконечное определенное количество как бесконечно большое или

бесконечно малое само есть в себе бесконечный прогресс;

оно определенное количество как некоторое большое или малое и в то же

время небытие определенного количества. Бесконечно большое и бесконечно

малое суть поэтому образы представления, которые при более внимательном

рассмотрении оказываются ничтожным туманом и тенью. Но в бесконечном

прогрессе это противоречие имеется в ясном виде, и тем самым имеется в ясном

виде то, что составляет природу определенного количества, которое достигло

своей реальности как интенсивная величина и теперь положено в своем наличном

бытии таким, каково оно в своем понятии. Это тождество мы теперь и должны

рассмотреть.

Определенное количество как градус просто, оно соотнесено с собой и

определено как [находящееся] в самом себе. Так как благодаря этой простоте

инобытие и определенность сняты в нем, то определенность внешняя ему; оно

имеет свою определенность вовне себя. Это его вовне-себя-бытие есть прежде

всего абстрактное небытие определенного количества вообще, дурная бес^

конечность. Но это небытие обладает, далее, и некоторой величиной;

определенное количество непрерывно переходит в свое небытие, ибо имеет свою

определенность как раз в своей внешности; эта его внешность точно так же

есть поэтому определенное количество; таким образом, указанное его небытие,

бесконечность, ограничивается, т. е. потустороннее снимается, оно само

определено как определенное количество, которое, следовательно, в своем

отрицании находится у самого себя.

Но это как раз то, что определенное количество, как таковое, есть в себе.

Ибо оно есть оно же само благодаря своему вовне-себя-бытию; внешность

составляет то, благодаря чему оно определенное количество, находится у себя.

Следовательно, в бесконечном прогрессе понятие определенного количества

положено.

Если мы возьмем бесконечный прогресс сначала в его абстрактных

определениях, как они представлены нам, то увидим, что в нем снято

определенное количество, но снято также его потустороннее, имеется,

следовательно, и отрицание определенного количества, и отрицание этого

отрицания. Его истина - это их единство, в котором они даны, однако, как

моменты. - Это единство есть разрешение противоречия, выражением которого

служит бесконечный прогресс; поэтому ближайший смысл единства -

восстановление понятия величины, заключающегося в том, что она безразличная

или внешняя граница. Когда говорят о бесконечном прогрессе, как таковом, то

обычно обращают внимание только на то, что каждое определенное количество,

как бы оно ни было велико или мало, может исчезать, что должна быть

возможность выходить за его пределы, но не на то, что само это его снятие,

потустороннее, дурная бесконечность, также исчезает.

Уже первое снятие, отрицание качества вообще, благодаря которому

полагается определенное количество, есть в себе снятие отрицания, -

определенное количество есть снятая качественная граница, следовательно,

снятое отрицание, - но в то же время оно таково лишь в себе; положено же оно

как наличное бытие, а затем его отрицание фиксировано как бесконечное, как

потустороннее определенного количества, которое остается по ею сторону как

нечто непосредственное', таким образом, бесконечное определено лишь как

первое отрицание, и таковым оно выступает в бесконечном прогрессе. Но мы уже

показали, что в бесконечном прогрессе имеется нечто большее, имеется

отрицание отрицания, или то, что бесконечное есть поистине. Ранее мы это

рассматривали так, что тем самым восстановлено понятие определенного

количества; это восстановление означает прежде всего, что его наличное бытие

получило свое более точное определение, а именно возникло определенное

количество, определенное в соответствии со своим понятием и отличное от

непосредственного определенного количества; внешность есть теперь

противоположность самой себе, положена как момент самой величины, - возникло

определенное количество, взятое так, что оно посредством своего небытия,

бесконечности, имеет свою определенность в другом определенном количестве,

т. е. есть качественно то, что оно есть. Однако это сравнение понятия

определенного количества с его наличным бытием свойственно больше нашей

рефлексии - отношению, которого здесь еще нет. Ближайшее определение таково:

определенное количество возвращено к качеству, определено отныне

качественно. Ибо его особенность, его качество - это внешность, безразличие

определенности, и оно теперь положено как то, что в своей внешности есть

скорее оно же само, соотносится в ней с самим собой, определено в простом

единстве с собой, т. е. качественно. - Это качественное определено еще более

точно, а именно как для-себя-бытие, ибо соотношение с самим собой, к

которому оно пришло, появилось из опосредствования, из отрицания отрицания.

Определенное количество имеет бесконечность, для-себя-определенность уже не

вовне себя, а в самом себе.

Бесконечное, имеющее в бесконечном прогрессе лишь ничтожное значение

небытия, недостигнутого, но искомого потустороннего, есть на самом деле не

что иное, как качество. Определенное количество как безразличная граница

переступает само себя в бесконечность; тем самым оно не ищет ничего иного,

кроме для-себя-определенности, качественного момента, который, однако, таким

образом есть лишь долженствование. Его безразличие к границе, следовательно,

отсутствие у него для-себя-сущей определенности и его выхождение за само

себя есть то, что делает определенное количество определенным количеством;

это его выхождение должно подвергнуться отрицанию и найти себе в бесконечном

свою абсолютную определенность.

В самом общем виде: определенное количество - это само снятое качество;

но определенное количество бесконечно, выходит за свои пределы, оно

отрицание себя; это его выхождение есть, следовательно, в себе отрицание

подвергнутого отрицанию качества, восстановление его; и положено именно то,

что внешность, выступавшая как потустороннее, определена как собственный

момент определенного количества.

Определенное количество этим положено как оттолкнутое от себя, вследствие

чего, стало быть, имеются два определенных количества, которые, однако,

сняты, даны лишь как моменты одного единства, и это единство есть

определенность определенного количества. - Последнее, соотнесенное, таким

образом, в своей внешности с собой как безразличная граница и,

следовательно, положенное качественно, есть количественное отношение. - В

самом отношении определенное количество внешне себе, отлично от самого себя;

эта его внешность есть соотношение одного определенного количества с другим

определенным количеством, каждое из которых значимо лишь в этом своем

соотношении со своим иным; и это соотношение составляет определенность

определенного количества, данного как такое единство. Определенное

количество имеет в нем не безразличное, а качественное определение, в этой

своей внешности возвратилось в себя, есть в ней то, что оно есть.

Примечание 1

Определенность понятия математического бесконечного

Математическое бесконечное интересно, с одной стороны, ввиду расширения

[сферы] математики и ввиду великих результатов, достигнутых благодаря

введению его в математику; с Другой же стороны, оно достойно внимания по той

причине, что этой науке еще не удалось посредством понятия (понятия в

собственном смысле) обосновать правомерность его применения. Все обоснования

зиждутся в конечном счете на правильности результатов, получающихся при

помощи этого определения, правильности, доказанной из других оснований, но

не на ясности предмета и действий, благодаря которым достигнуты эти

результаты; более того: признается даже, что сами эти действия неправильны.

Это уже само по себе недостаток; такой образ действия ненаучен. Но он

влечет за собой еще и тот вред, что математика, не зная природы этого своего

орудия из-за того, что не справилась с его метафизикой и критикой, не могла

определить сферу его применения и предохранить себя от злоупотребления им.

В философском же отношении математическое бесконечное важно потому, что в

его основе действительно лежит понятие истинного бесконечного и оно куда

выше, чем обычно называемое так метафизическое бесконечное, исходя из

которого выдвигаются против него возражения. От этих возражений

математическая наука часто умеет спасаться лишь тем, что она отвергает

компетенцию метафизики, утверждая, что ей нет дела до этой науки, что ей

нечего заботиться о ее понятиях, если только она действует последовательно

на своей собственной почве. Она-де должна рассматривать не то, что истинно в

себе, а то, что истинно в ее области. При всех своих возражениях против

математического бесконечного метафизика не может отрицать или опровергнуть

блестящие результаты, которые дало его применение, а математика не в

состоянии точно выяснить метафизику своего собственного понятия, а потому не

в состоянии также и дать основание (Ableitung) тех приемов, которые делает

необходимыми применение бесконечного.

Если бы над математикой тяготело одно лишь затруднение, причиняемое

понятием вообще, то она могла бы без околичностей оставить его в стороне,

поскольку именно понятие есть нечто большее, чем только указание сущностных

определенностей, т. е. рассудочных определений той или иной вещи, а

упрекнуть математику в недостаточной строгости этих определенностей никак

нельзя; [она могла бы оставить в стороне это затруднение], ибо не

принадлежит к тем наукам, которые должны иметь дело с понятиями своих

предметов и образовать свое содержание через развитие понятия, хотя бы

только путем резонерства. Но применяя метод своего бесконечного, она находит

главное противоречие в самбм характерном для нее методе, на котором она

вообще основывается как наука. Ибо исчисление бесконечного разрешает и

требует таких приемов, которые она должна отвергать, оперируя конечными

величинами, и в то же время она обращается со своими бесконечными величинами

как с конечными определенными количествами и хочет применять к первым те же

приемы, которые применяются к последним. Очень важно для развития этой науки

то, что она нашла для трансцендентных определений и действий над ними форму

обычного исчисления (Kalkuls).

При всей этой противоречивости своих действий математика показывает, что

результаты, которые она получает посредством их, вполне совпадают с теми,

которые она получает с помощью собственно математического метода,

геометрического и аналитического метода. Однако, с одной стороны, это

касается не всех результатов, и цель введения [математического] бесконечного

не только сокращение обычного пути, а достижение результатов, которых

последний дать не может. С другой же стороны, успех сам по себе не может

служить оправданием характера пути (die Manier des Wegs). А этот характер

исчисления бесконечного отягощен видимостью неточности, которую он сам себе

придает, увеличивая конечные величины на бесконечно малую величину и отчасти

сохраняя эту последнюю в дальнейших действиях, отчасти же и пренебрегая ею.

Этот прием заключает в себе ту странность, что, несмотря на признаваемую

неточность, получается результат, который не только довольно точен и столь

близок [к истинному результату ], что можно не обращать внимания на разницу,

но и совершенно точен. В самом же действии, предшествующем результату,

нельзя обойтись без представления, что некоторые величины не равны нулю, но

они столь незначительны, что их можно оставить без внимания. Однако в том,

что понимают под математической определенностью, совершенно отпадает всякое

различие между большей или меньшей точностью, подобно тому как в философии

может идти речь не о большей или меньшей вероятности, а единственно лишь об

истине. Если метод и применение бесконечного и находят оправдание в успехе,

то все же требовать их обоснования не так излишне, как представляется

излишним, например, требование доказать право пользоваться собственным

носом. Ведь в математическом познании как познании научном существенное

значение имеет доказательство, а в отношении получаемых результатов также

оказывается, что строго математический метод не для всех их доставляет

аргумент успеха, который к тому же есть лишь внешний аргумент.

Стоит рассмотреть более внимательно математическое понятие бесконечного и

наиболее замечательные попытки, которые ставят себе целью найти оправдание в

пользовании им и устранить затруднение, отягчающее метод. Рассмотрение таких

оправданий и определений математического бесконечного, которые я намерен

изложить в этом примечании более пространно, бросит в то же время наиболее

яркий свет и на самое природу истинного понятия и покажет, как оно

представлялось и легло в основу этих попыток.

Обычное определение математического бесконечного гласит, что оно есть

величина, больше которой, если она определена как бесконечно большая, или

меньше которой, если она определена как бесконечно малая, уже нет или - в

другой формулировке - как величина, которая в первом случае больше, а во

втором меньше любой другой величины. - В этой дефиниции выражено, конечно,

не истинное понятие, а скорее, как уже отмечено, лишь то же противоречие,

что и в бесконечном прогрессе. Но посмотрим, что содержится в ней в себе.

Величина определяется в математике как то, что может быть увеличено или

уменьшено, следовательно, вообще как безразличная граница. И вот, так как

бесконечно большое или бесконечно малое есть нечто такое, что уже больше не

может быть увеличено или уменьшено, то оно на самом деле уже не определенное

количество, как таковое.

Этот вывод необходим и непосредствен. Но именно это соображение, что

определенное количество, - а я называю в этом примечании определенным

количеством вообще то, чтб оно есть, [а именно ] конечное определенное

количество, - снято, обычно не приходит на ум, а между тем оно-то и

составляет затруднение для обыденного понимания, так как требуется, чтобы

определенное количество, когда оно бесконечно, мыслилось как нечто снятое,

как нечто такое, что не есть определенное количество, но количественная

определенность чего все же сохраняется.

Если обратимся к тому, как относится к этому определению Кант *, то

увидим, что он его находит несогласующимся с тем, что понимают под

бесконечным целым. "Согласно обыденному понятию бесконечна та величина,

больше которой (т. е. больше определенного множества содержащихся в ней

данных единиц) невозможна никакая другая величина. Но никакое множество не

может быть наибольшим, так как ко всякому множеству можно прибавить еще одну

или несколько единиц. Бесконечное целое не дает нам представления о том, как

оно велико, стало быть, понятие его не есть понятие максимума (или

минимума): посредством него мыслится только его отношение к любой полагаемой

единице, для которой бесконечное целое больше всякого числа. В зависимости

от того, взяли ли мы большую или меньшую единицу, бесконечное было бы

большим или меньшим, но бесконечность, так как она состоит лишь в отношении

к этой данной единице, оставалась бы одной и той же, хотя, конечно,

абсолютная величина целого вовсе не была бы таким образом познана".

Кант отвергает признание бесконечного целого некоторым максимумом,

завершенным множеством данных единиц. Максимум или минимум, как таковой, все

еще представляется определенным количеством, множеством. Таким

представлением не может быть отклонено указанное Кантом заключение, которое

приводит к большему или меньшему бесконечному. Вообще, когда бесконечное

представляют как определенное количество, для него сохраняет значение

различие большего или меньшего. Но эта критика не затрагивает понятия

истинного математического бесконечного, бесконечной разности, ибо последняя

уже не конечное определенное количество.

Напротив, даваемое Кантом понятие бесконечности, которое он называет

истинно трансцендентальным, гласит, что "последовательный синтез единицы при

измерении определенного количества никогда не может быть закончен" ". В этом

понятии подразумевается, как данное, определенное количество вообще;

требуется, чтобы оно посредством синтеза единицы стало некоторой

численностью, определенным количеством, которое следует точно указать, но,

[по утверждению Канта], невозможно когда-либо закончить такой синтез. Этим

совершенно очевидно выражено не что иное, как бесконечный прогресс, только

представляют себе его здесь трансцендентально, т. е., собственно говоря,

субъективно и психологически. Само по себе, дескать, определенное

количество, правда, завершено, но трансцендентальным образом, а именно в

субъекте, сообщающем ему отношение к некоторой единице, возникает лишь такое

определение определенного количества, которое не завершено и всецело

обременено потусторонним. Следовательно, здесь вообще не идут дальше

противоречия, которое содержится в величине, но которое распределено между

объектом и субъектом, так что на долю первого выпадает ограниченность, а на

долю второго - выхождение за каждую постигаемую им определенность, в дурное

бесконечное.

Выше же было сказано, что определение математического бесконечного и

притом так, как им пользуются в высшем анализе, соответствует понятию

истинного бесконечного; теперь следует сопоставить эти два определения в

более развернутом виде. - Что касается прежде всего истинно бесконечного

определенного количества, то оно определилось как в самом себе бесконечное;

оно таково, поскольку, как мы выяснили, и конечное определенное

количество или определенное количество вообще, и его потустороннее - дурное

бесконечное - одинаково сняты. Снятое определенное количество возвратилось

тем самым к простоте и к соотношению с самим собой, но не только так, как

экстенсивное определенное количество, переходившее в интенсивное

определенное количество, которое имеет свою определенность в каком-то

внешнем многообразии лишь в себе, однако, как полагают, безразлично к этому

многообразию и отлично от него. Бесконечное определенное количество скорее

содержит, во-первых, внешность и, во-вторых, ее отрицание в самом себе. В

этом случае оно уже не конечное определенное количество, не определенность

величины, которая имела бы наличное бытие как определенное количество, оно

нечто простое и потому дано лишь как момент; оно определенность величины в

качественной форме; его бесконечность состоит в том, что оно дано как

некоторая качественная определенность. - Таким образом, как момент оно

находится в сущностном единстве со своим иным, дано лишь как определенное

этим своим иным, т. е. оно имеет значение лишь в связи с чем-то находящимся

с ним в отношении. Вне этого отношения оно нуль, между тем именно

определенное количество, как таковое, безразлично, как полагают, к

отношению, хотя оно и есть в нем непосредственное неподвижное определение. В

отношении оно только как момент не есть нечто само по себе безразличное; в

бесконечности как для-себя-бытии оно, будучи в то же время некоторой

количественной определенностью, дано лишь как некоторое "для-одного".

Понятие бесконечного, как оно здесь изложено абстрактно, окажется лежащим

в основе математического бесконечного, и оно само станет более ясным, когда

рассмотрим различные ступени выражения определенного количества как момента

отношения, начиная с низшей ступени, на которой оно еще есть также

определенное количество, как таковое, и кончая высшей, где оно приобретает

значение и выражение бесконечной величины в собственном смысле.

Итак, возьмем сначала определенное количество в том отношении, в котором

оно дробное число. Такая дробь, например, 2/7 не есть такое определенное

количество, как 1, 2, 3 и т. д.;

она, правда, обычное конечное число, однако не непосредственное, как

целые числа, а как дробь опосредствованно определенное двумя другими

числами, которые суть в отношении друг друга численность и единица, причем и

единица есть некоторая численность. Но взятые абстрагирование от этого их

более точного определения относительно друг друга и рассматриваемые лишь в

соответствии с тем, что в качественном соотношении, в котором они здесь

находятся, происходит с ними как с определенными количествами, 2 и 7 помимо

этого соотношения суть безразличные определенные количества; но выступая

здесь как моменты, друг друга и тем самым некоторого третьего (того

определенного количества, которое называется показателем), они имеют

значение не как 2 и 7, а лишь со стороны их определенности относительно друг

друга. Поэтому можно вместо них с таким же успехом поставить также 4 и 14

или 6 и 21 и т. д. до бесконечности. Тем самым они, следовательно, начинают

приобретать качественный характер. Если бы 2 и 7 имели значение только как

определенные количества, то одно было бы просто 2, а другое 7; 4, 14, б, 21

и т. д. - нечто совершенно иное, чем эти числа, и, поскольку они лишь

непосредственные определенные количества, одни из них не могут быть

подставлены вместо других. Но поскольку 2 и 7 имеют значение не со стороны

той определенности, что они такие определенные количества, их безразличная

граница снята; они, стало быть, с этой стороны заключают в себе момент

бесконечности, ибо они не только уже не то, что они суть, но сохраняется их

количественная определенность, однако как в себе сущая качественная

определенность, а именно согласно тому, что они значат в отношении. Они

могут быть заменены бесконечным множеством других чисел, так что

определенность отношения не изменяет величину дроби.

Но изображение бесконечности в числовой дроби несовершенно еще и потому,

что оба члена дроби, 2 и 7, могут быть изъяты из отношения, и тогда они

обыкновенные безразличные определенные количества; их соотношение - то, что

они суть члены отношения и моменты, - есть для них нечто внешнее и

безразличное. И точно так же само их соотношение есть обычное определенное

количество, показатель отношения.

Буквы, которыми оперируют в общей арифметике, т. е. ближайшая

всеобщность, в которую возводятся числа, не обладают свойством иметь

определенную числовую величину; они лишь всеобщие знаки и неопределенные

возможности любой определенной величины. Дробь представляется поэтому более

подходящим выражением бесконечного, так как а и Ь, изъятые из их

соотношения, остаются неопределенными и не имеют особой им принадлежащей

величины, даже будучи отделены друг от друга. - Однако, хотя эти буквы

положены как неопределенные величины, их смысл все же состоит в том, что они

какое-то конечное определенное количество. Так как они хотя и всеобщее

представление, но лишь об определенном числе, то для них одинаково

безразлично то, что они находятся в отношении, и вне этого отношения они

сохраняют то же самое значение.

Если присмотримся еще пристальнее к тому, что имеется в отношении, то

увидим, что ему присущи оба определения: оно, во-первых, определенное

количество, но последнее есть, во-вторых, не непосредственное определенное

количество, а такое, которое содержит качественную противоположность; в то

же время оно остается в отношении тем определенным, безразличным квантом

благодаря тому, что оно возвращается в себя из "своего инобытия, из

противоположности и, следовательно, есть также нечто бесконечное. Эти два

определения, развитые в их отличии друг от друга, представляются в следующей

общеизвестной форме.

2 1 Дробь - может быть выражена как 0,285714...., как

1 + а + а2 + а3 и т. д. Таким образом, она дана как бесконечный ряд; сама

дробь называется суммой или конечным выражением этого ряда. Если сравним

между собой эти два выражения, то окажется, что одно, бесконечный ряд,

представляет ее уже не как отношение, а с той стороны, что она определенное

количество как множество таких количеств, которые присоединяются одно к

другому, - как некоторая численность. - Что величины, которые должны

составить дробь как некую численность, сами в свою очередь состоят из

десятичных дробей, стало быть, сами состоят из отношений, - это не имеет

здесь значения; ибо это обстоятельство касается особого рода единицы, этих

величин, а не их, поскольку они конституируют численность; ведь и состоящее

из нескольких цифр целое число десятеричной системы также считается по своей

сути численностью, и не обращается внимания на то, что она состоит из

произведений некоторых чисел на число десять и его степени. Не важно здесь и

то, что имеются другие 2 дроби, нежели взятая в качестве примера дробь ,

которые, будучи обращены в десятичные дроби, не дают бесконечного ряда;

однако каждая из них может быть изображена как такой ряд в числовой системе

другой единицы.

Так как в бесконечном ряде, который должен представлять дробь как

численность, исчезает та ее сторона, что она отношение, то исчезает и та

сторона, что она, как показано выше, в самой себе имеет бесконечность. Но

эта бесконечность вошла другим способом, а именно сам ряд бесконечен.

Какова эта бесконечность ряда - это явствует само собой; она дурная

бесконечность прогресса. Ряд содержит и представляет следующее противоречие:

нечто, будучи отношением и имея внутри себя качественную природу,

изображается как лишенное отношений, просто как определенное количество, как

численность. Следствием этого [противоречия] оказывается то, что в

численности, выражаемой в ряде, всегда чего-то недостает, так что для того,

чтобы достигнуть требуемой определенности, всегда нужно выходить за пределы

того, что положено. Закон этого продвижения известен; он заключается в

определении определенного количества, содержащемся в дроби, и в природе

формы, в которой это определение должно быть выражено. Можно, правда,

продолжая ряд, сделать численность столь точной, сколь это нужно. Однако

изображение [численности ] посредством ряда всегда остается лишь

долженствованием; оно обременено неким потусторонним, которое не может быть

снято, так как попытка выразить в виде численности то, что основано на

качественной определенности, есть постоянное противоречие.

В этом бесконечном ряде действительно имеется та неточность, которая в

истинном математическом бесконечном встречается лишь как видимость. Не

следует смешивать эти два вида математического бесконечного, точно так же

как не следует смешивать оба вида философского бесконечного. Для изображения

истинного математического бесконечного сначала пользовались формой ряда, и в

новейшее время она опять была вызвана к жизни. Но она для него не

необходима. Напротив, как станет ясно из последующего, бесконечное

бесконечного ряда сущностно отличается от истинного математического

бесконечного. Скорее он уступает [в этом отношении] даже такому выражению,

как дробь.

А именно бесконечный ряд содержит дурную бесконечность, так как то, что

он должен выразить, остается долженствованием, а то, что он выражает,

обременено неисчезающим потусторонним и отличается от того, что должно быть

выражено. Он бесконечен не из-за положенных членов, а потому, что они

неполны, потому что иное, сущностно принадлежащее к ним, находится по ту

сторону их; то, что в нем есть, хотя бы положенных членов было сколь угодно

много, есть лишь конечное в собственном смысле этого слова, положенное как

конечное, т. е. как такое, что не есть то, чем оно должно быть. Напротив,

то, что называется конечным выражением или суммой такого ряда, безупречно;

оно полностью содержит то значение, которого ряд только ищет; потустороннее

возвращено из своего бегства; то, что этот ряд есть, и то, чем он должен

быть, уже не разделено, а есть одно и то же.

Различает их, если говорить точнее, то, что в бесконечном ряде

отрицательное находится вне его членов, которые имеются налицо, так как они

признаются лишь частями численности. Напротив, в конечном выражении, которое

есть отношение, отрицательное имманентно как определяемость сторон отношения

друг другом, которая есть возвращение в себя, соотносящееся с собой единство

как отрицание отрицания (обе стороны отношения даны лишь как моменты), и,

следовательно, имеет внутри себя определение бесконечности. - Таким образом,

обычно так называемая сумма, - или -,--- есть на самом деле отношение, и / 1

- а это так называемое конечное выражение есть истинно бесконечное выражение.

Бесконечный ряд есть на самом деле скорее сумма; его цель - то, что в себе

есть отношение, представить в форме некоторой суммы, и имеющиеся налицо

члены ряда даны не как члены отношения, а как члены агрегата. Он, далее,

есть скорее конечное выражение, ибо он несовершенный агрегат и остается по

своему существу чем-то недостаточным. По тому, что в нем имеется, он

определенный квант, но в то же время меньший, чем тот, которым он должен

быть; и то, чего ему недостает, также есть определенный квант; эта

недостающая часть есть на самом деле то, что называется в ряде бесконечным

только с той формальной стороны, что она есть нечто недостающее, некоторое

небытие; по своему содержанию она конечное определенное количество. Только

то, что налично в ряде, совокупно с тем, чего ему недостает, составляет

дробь, определенный квант, которым ряд также должен быть, но которым он не в

состоянии быть. - Слово "бесконечное" также и в сочетании "бесконечный ряд"

обычно кажется мнению чем-то возвышенным и величественным; это некоторого

рода суеверие, суеверие рассудка. Мы видели, что оно сводится скорее к

определению недостаточности.

Можно еще заметить, что то, что имеются такие бесконечные ряды, которые

не суммируются, - это в отношении формы ряда вообще обстоятельство внешнее и

случайное. Ряды эти содержат более высокий вид бесконечности, чем

суммирующиеся ряды, а именно несоизмеримость, или, иначе говоря,

невозможность представить содержащееся в них количественное отношение как

определенное количество, хотя бы в виде дроби. Но свойственная им форма

ряда, как таковая, содержит то же самое определение дурной бесконечности,

какое присуще суммирующемся ряду.

Только что указанная на примере дроби и ее ряда превратность выражения

имеет место и тогда, когда математическое бесконечное - а именно не только

что названное, а истинное - называют относительным бесконечным, обычное же

метафизическое, под которым разумеют абстрактное, дурное бесконечное, -

абсолютным. На самом же деле это метафизическое бесконечное скорее лишь

относительно, ибо выражаемое им отрицание противоположно границе лишь в том

смысле, что граница остается существовать вне него и не снимается им;

математическое же бесконечное действительно сняло конечную границу внутри

себя, так как ее потустороннее соединено с ней.

Спиноза выставляет и поясняет примерами понятие истинной бесконечности в

противоположность дурной главным образом в том смысле, в котором мы

показали, что так называемая сумма или конечное выражение бесконечного ряда

следует рассматривать скорее как бесконечное выражение. Понятие истинной

бесконечности будет лучше всего освещено, если я рассмотрю сказанное им об

этом предмете непосредственно вслед за только что изложенными соображениями.

Спиноза определяет прежде всего бесконечное как абсолютное утверждение

существования какой-нибудь природы, а конечное, напротив, как

определенность, как отрицание. Абсолютное утверждение некоторого

существования следует понимать именно как его соотношение с самим собой,

означающее, что оно есть не потому, что другое есть; конечное же есть

отрицание, есть прекращение как соотношение с некоторым иным, начинающимся

вне его. Абсолютное утверждение некоторого существования, правда, не

исчерпывает понятия бесконечности; это понятие подразумевает, что

бесконечность есть утверждение не как непосредственное, а только как

восстановление через рефлексию иного в само себя, или, иначе говоря, как

отрицание отрицательного. Но у Спинозы субстанция и ее абсолютное единство

имеют форму неподвижного единства, т. е. не опосредствующего себя с самим

собой, - форму какой-то оцепенелости, в которой еще не находится понятие

отрицательного единства самости, субъективность.

В качестве математического примера для пояснения истинного бесконечного

(письмо XXIX) Спиноза приводит пространство между двумя неравными кругами,

один из которых находится внутри другого, не касаясь его, и которые не

концентричны. Этой фигуре и понятию, в качестве примера которого он ею

пользуется, он, по-видимому, придавал столь большое значение, что сделал ее

эпиграфом своей "Этики". - "Математики, - говорит он, - умозаключают, что

неравенства, возможные в таком пространстве, бесконечны не от бесконечного

множества частей, ибо величина этого пространства определена и ограничена, и

я могу предположить такое пространство большим или меньшим, а они делают

этот вывод на том основании, что природа этой вещи превосходит всякую

определенность" 10Э. - Как видим, Спиноза отвергает представление о

бесконечном как о множестве или как о незавершенном ряде и напоминает, что в

пространстве, приводимом им в качестве примера, бесконечное не находится по

ту сторону, а налично и полно; это пространство есть нечто ограниченное, но

именно потому бесконечное, "что природа вещи превосходит всякую

определенность", так как содержащееся в нем определение величины в то же

время не может быть представлено как определенное количество или, употребляя

приведенное выше выражение Канта, синтезирование не может быть завершено,

доведено до некоторого - дискретного - определенного количества. - Каким

образом противоположность между не-прерывным и дискретным определенным

количеством приводит к бесконечному, - это мы разъясним в одном из следующих

примечаний. - Бесконечное ряда Спиноза называет бесконечным воображения,

бесконечное же как соотношение с самим собой - бесконечным мышления или

infinitun actu [актуально бесконечным ]. Оно именно actu, действительно

бесконечно, так как оно внутри себя завершено и налично. Так, ряд

0,285714... или 1 + а + а+ 0s... есть лишь бесконечное воображения или

мнения, ибо он не обладает действительностью, ему безусловно чего-то

недостает. Напротив, - или есть в действительности не только то, что ряд

представляет собой в своих наличных членах, но к тому же еще и то, чего ему

недостает, чем он только должен быть, или есть такая же конечная величина,

заключенная между двумя кругами пространство и его неравенства в примере

Спинозы, и, подобно этому пространству, может быть увеличена или уменьшена.

Но отсюда не получается нелепость большего или меньшего бесконечного, ведь

это определенное количество целого не касается отношения его моментов,

природы вещи, т. е. качественного определения величины; то, что в

бесконечном ряде имеется налицо, есть также конечное определенное

количество, но кроме того еще нечто недостающее. Напротив, воображение не

идет дальше определенного количества, как такового, и не принимает во

внимание качественного соотношения, составляющего основу имеющейся

несоизмеримости.

Несоизмеримость, имеющая место в примере, приводимом Спинозой, заключает

в себе вообще криволинейные функции и приводит к тому бесконечному, которое

ввела математика при действиях с такими функциями и вообще при действиях с

функциями переменных величин; это бесконечное есть истинно математическое,

качественное бесконечное, которое мыслил себе и Спиноза. Это определение мы

должны здесь рассмотреть подробнее.

Что касается, во-первых, признаваемой столь важной категории

переменности, под которую подводятся соотносимые в этих функциях величины,

то они прежде всего переменны не в том 2 смысле, в каком в дроби - переменны

оба числа 2 и 7, поскольку вместо них можно поставить также 4и14,6и21ит.д.до

бесконечности без изменения значения дроби. В этом смысле

можно с еще большим правом в дроби , поставить вместо а и b любые числа,

не изменяя того, что должно выражать .. Лишь в том смысле, что и вместо л и

у в той или иной функции можно поставить бесконечное, т. е. неисчерпаемое

множество чисел, а и b суть такие же переменные величины, как и х и у.

Поэтому выражение переменные величины страдает неясностью и неудачно выбрано

для определений величин, интерес которых и способ действий над которыми

коренятся в чем-то совершенно другом, чем только в их переменности.

Чтобы выяснить, в чем заключается истинное определение тех моментов

функции, которыми занимается высший анализ, мы снова должны вкратце обозреть

отмеченные выше ступени.

В дробях числа 2 и 7, каждое само по себе, суть определенные кванты и

соотношение для них несущественно; а и b равным образом должны представлять

такие определенные количества, которые и вне отношения остаются тем, что они

есть. Далее, суть также постоянное определенное количество, некоторое

частное; отношение составляет некую численность, единицей которой служит

знаменатель, а численностью этих единиц - числитель, или наоборот. Если бы

мы подставили вместо 2 и 7 - 4 и 14ит.д.,то отношение осталось бы тем же

самым и как определенное количество. Но это в корне изменяется, например, в

функции -ё/"; здесь, правда, л и у имеют [и тот] смысл, что могут быть

определенными количествами; но определенное частное имеют не х и у, а лишь х

и у2. Поэтому указанные стороны отношения л и у, во-первых, не только не

определенные количества, но и, во-вторых, их отношение не постоянное

определенное количество (а также не имеется в виду такое определенное

количество, как это, например, имеет место при а и b), не постоянное

частное, а это частное как определенное количество совершенно переменно. Но

это следует только из того, что х находится в отношении не к у, а к квадрату

у. Отношение величины к степени есть не определенное количество, а

качественное по своему существу отношение. Степенное отношение есть то

обстоятельство, которое должно рассматриваться как основное определение. - В

функции же прямой линии у = ах есть обычная дробь и частное; эта функция

есть поэтому лишь формально функция переменных величин или, иначе говоря, х

и у здесь то же самое, что а и b в " они не имеют того определения,

сообразно с которым их рассматривает дифференциальное и интегральное

исчисление. - Ввиду особенной природы переменных величин в этом способе

рассмотрения было бы целесообразно ввести для них и особое название, и

обозначения, отличные от обычных обозначений неизвестных величин в каждом

конечном, определенном или неопределенном уравнении, - по причине их

существенного отличия от таких просто неизвестных величин, которые в себе

суть вполне определенные количества или определенная совокупность

определенных квантов. - И в самом деле, лишь отсутствие сознания особенности

того, что составляет интерес высшего анализа и чем вызваны потребность в

дифференциальном исчислении и изобретение его, само по себе привело к

включению функций первой степени, каково уравнение прямой линии, в состав

этого исчисления; вызван такой формализм ошибочным мнением, будто правильное

в себе требование обобщения какого-нибудь метода можно выполнить, опуская ту

специфическую определенность, на которую опирается потребность в этом

методе, так что считается, будто в рассматриваемой нами области дело вдет

только о переменных величинах вообще. От значительной доли формализма в

рассмотрении этих предметов и в их трактовке можно было бы, конечно,

избавиться, если бы поняли, что дифференциальное исчисление касается не

переменных величин, как таковых, а степенных определений.

Но имеется еще дальнейшая ступень, на которой математическое бесконечное

обнаруживает свою специфику. В уравнении, в котором х и у положены прежде

всего как определенные некоторым степенным отношением, х и у, как таковые,

должны еще означать определенные количества; и вот это значение совершенно

утрачивается в так называемых бесконечно малых разностях, dx, dy уже не

определенные количества и не должны иметь значение таковых, а имеют значение

лишь в своем соотношении, имеют смысл только как моменты. Они уже не нечто,

если принимать нечто за определенное количество, они не конечные разности;

но они и не ничто, не нуль, лишенный определения. Вне своего отношения они

чистые нули, но их следует брать только как моменты отношения, как

определения дифференциального коэффициента .-.

В этом понятии бесконечного определенное количество поистине завершено в

некоторое качественное наличное бытие; оно положено как действительно

бесконечное; оно снято не только как то или иное определенное количество, а

как определенное количество вообще. Но [при этом ] сохраняется

количественная определенность как элемент определенных количеств, как

принцип или, как еще говорили, она сохраняется в своем первом понятии.

Против этого понятия и направлены все те нападки, которым подверглось

основное данное математикой определение этого бесконечного -

дифференциального и интегрального исчисления. Неправильные представления

самих математиков привели к непризнанию этого понятия; но виновна в этих

нападках главным образом неспособность обосновать этот предмет как понятие.

Однако понятие, как было указано выше, математика не может здесь обойти, ибо

как математика бесконечного она не ограничивается рассмотрением конечной

определенности своих предметов (как, например, в чистой математике

пространство и число и их определения рассматриваются и соотносятся друг с

другом лишь со стороны их конечности), а приводит заимствованное оттуда и

трактуемое ею определение в тождество с его противоположностью, превращая,

например, кривую линию в прямую, круг - в многоугольник и т. д. Поэтому

действия, к которым она позволяет себе прибегать в дифференциальном и

интегральном исчислении, находятся в полном противоречии с природой чисто

конечных определений и их соотношений и, стало быть, могли бы найти свое

обоснование только в понятии.

Если математика бесконечного настаивала на том, что эти количественные

определения суть исчезающие величины, т. е. такие, которые уже не

определенные количества, но и не ничто, а сохраняют еще некоторую

определенность относительно другого, то [нападавшим на нее] казалось

совершенно ясным, что нет, как они выражались, никакого среднего состояния

между бытием и ничто. - Каково значение этого возражения и так называемого

среднего состояния, это уже было показано выше при рассмотрении категории

становления (примечание 4). Конечно, единство бытия и ничто не есть

состояние; состояние было бы таким определением бытия и ничто, в которое эти

моменты, так сказать, попали только случайно, как бы впав в болезнь или

подвергшись внешнему воздействию со стороны ошибочного мышления; скорее лишь

эта средина и это единство, исчезание, или, что то же, становление, и есть

их истина.

То, что бесконечно, говорили далее, не подлежит сравнению как большее или

меньшее; поэтому не может быть отношения бесконечного к бесконечному по

разрядам или рангам бесконечного, а между тем такие различия бесконечных

разностей встречаются в науке, трактующей о них. - Это уже упомянутое выше

возражение все еще исходит из представления, будто здесь идет речь об

определенных количествах, сравниваемых как определенные количества, и что

определения, которые уже не определенные количества, не имеют больше

никакого отношения друг к другу. В действительности же дело обстоит

наоборот: то, что только находится в отношении, не есть определенное

количество. Определенное количество есть такое определение, которое вне

своего отношения должно иметь совершенно безразличное [к другим] наличное

бытие и которому должно быть безразлично его отличие от иного, между тем как

качественное есть лишь то, что оно есть в своем отличии от иного. Поэтому

указанные бесконечные величины не только сравнимы, но существуют лишь как

моменты сравнения, отношения.

Я приведу важнейшие определения, которые были даны в математике

относительно этого бесконечного; тогда станет ясно, что они исходят из мысли

о самом предмете, согласующейся с развитым здесь понятием, но что их авторы

не исследовали этой мысли как понятие, и в применении они вынуждены были

прибегать к уловкам, противоречащим тому, чего они хотели добиться.

Эту мысль нельзя определить более правильно, чем это сделал Ньютон. Я

оставлю здесь в стороне определения, принадлежащие представлению о движении

и скорости (от которых он главным образом и заимствовал название флюксий),

так как в них мысль выступает не в надлежащей абстрактности, а конкретно,

смешанно с несущественными формами. Эти флюксии объясняются Ньютоном таким

образом (Princ. mathein. phil. nat. L. 1. Lemma XI. Schol.), что он понимает

под ними не неделимые - форма, которой пользовались до него математики

Кавальери и другие и которая содержит понятие определенного в себе кванта, -

а исчезающие делимые. Он понимает под ними, кроме того, не суммы и отношения

определенных частей, а пределы (limites) сумм и отношений. Против этого,

говорит Ньютон, выдвигают возражение, что у исчезающих величин не может быть

никакого

последнего отношения, так как прежде чем они исчезли, оно не последнее, а

когда они исчезли, нет уже никакого отношения. Но под отношением исчезающих

величин следует понимать не то отношение, которое имеет место до или после

их исчезновения, а то отношение, вместе с которым они исчезают (quacum

evanescunt). Точно так же и первое отношение возникающих величин есть

отношение, вместе с которым они возникают.

В соответствии с состоянием научного метода того времени давалось лишь

объяснение, что под таким-то термином следует понимать то-то. Но объяснение,

что под таким-то термином следует понимать то-то, есть, собственно говоря,

лишь субъективное предложение или же историческое требование, причем не

показывают, что такое понятие в себе и для себя необходимо и обладает

внутренней истинностью. Но из сказанного видно, что выставленное Ньютоном

понятие соответствует тому, чем оказалась в приведенном выше изложении

бесконечная величина на основании рефлексии определенного количества внутрь

себя. [Под флюксиями Ньютон ] понимает величины в их исчезновении, т. е.

величины, которые уже не определенные количества; он понимает под ними,

кроме того, не отношения определенных частей, а пределы отношения.

Следовательно, исчезают, согласно этому пониманию, и определенные количества

сами по себе, члены отношения, и само отношение, поскольку оно было

определенным количеством; предел отношения величин - это то, в чем оно есть

и не есть; это означает, точнее, что он есть то, в чем определенное

количество исчезло, и тем самым сохранились отношение только как

качественное отношение количества и его члены - также как качественные

моменты количества. - Ньютон к этому прибавляет, что из того обстоятельства,

что имеются последние отношения исчезающих величин, не следует заключать,

что имеются последние величины, неделимые. Это было бы опять-таки отходом от

абстрактного отношения к таким его членам, которые должны были бы сами по

себе, вне своего соотношения, иметь значение как неделимые, как нечто, что

было бы "одним", безотносительным.

Чтобы предостеречь против этого недоразумения, он, кроме того,

напоминает, что последние отношения - это не отношения последних величин, а

только пределы, к которым отношения беспредельно убывающих величин ближе,

чем всякое данное, т. е. конечное различие, за которые, однако, они не

выходят, чтобы не стать ничем. - Под последними величинами можно было бы,

как сказано, понимать именно неделимые, или "одни". Но из определения

последнего отношения устранено представление и о безразличном,

безотносительном "одном", и о конечном определенном количестве. - Но не

нужно было бы ни беспредельного убывания, которое Ньютон приписывает

определенному количеству и которое лишь служит выражением бесконечного

прогресса, ни определения делимости, которое уже не имеет здесь никакого

прямого значения, если бы требуемое определение было развито в понятие

такого определения величины, которое есть исключительно лишь момент

отношения.

Что касается сохранения отношения при исчезновении определенных

количеств, то мы встречаем (у других авторов, например у Карно, Reflexions

sur la metaphysique du calcul infinitesimal) выражение, что в силу закона

непрерывности исчезающие величины, прежде чем исчезнуть, еще сохраняют то

отношение, из которого они происходят. - Это представление выражает истинную

природу вещей, поскольку здесь подразумевается не непрерывность

определенного количества, которой оно обладает в бесконечном прогрессе,

непрерывность, выражающаяся в том, что определенное количество так

продолжает себя в своем исчезновении, что по ту сторону его снова возникает

лишь конечное определенное количество, новый член ряда. Однако непрерывное

движение вперед всегда представляют так, что проходят имеющие еще значение

конечные определенные количества. В совершающемся же переходе в истинное

бесконечное непрерывным оказывается отношение; оно настолько непрерывно и

сохраняется, что переход состоит скорее лишь в том, что он выделяет

отношение в чистом виде и приводит к исчезновению безотносительного

определения, т. е. что определенное количество, будучи стороной отношения,

есть определенное количество еще и тогда, когда оно положено вне этого

соотношения. - Такое очищение количественного отношения есть в этом смысле

не что иное, как постижение эмпирического наличного бытия через понятие

(begriffen wird). Этим эмпирическое наличное бытие настолько возвышается над

собой, что его понятие содержит те же определения, что оно само, но

схваченные в их сущности и выраженные в единстве понятия, в котором они

лишились своего безразличного, чуждого понятия существования (Bestehen).

Столь же интересна и другая форма, в какой Ньютон трактует разбираемые

нами величины, а именно трактовка их как производящих величин или начал.

Произведенная величина (genita) - это произведение или частное, корни,

прямоугольники, квадраты, а также стороны прямоугольников, квадратов, вообще

конечная величина. - "Рассматривая ее как переменную, как она возрастает или

убывает в постоянном движении и течении, я понимаю под названием моментов ее

мгновенные приращения или убывания. Но не следует принимать эти моменты за

частицы, имеющие определенную величину (particulae finitae). Такие частицы

суть не самые моменты, а величины, произведенные из моментов; под последними

следует понимать скорее находящиеся в становлении принципы, или начала,

конечных величин". Ньютон отличает здесь определенное количество от него же,

рассматривает, каково оно как продукт или налично сущее и каково оно в своем

становлении, в своем начале и принципе, т. е. каково оно в своем понятии или

- здесь это то же самое - в своем качественном определении; в качественном

определении количественные различия, бесконечные приращения или убывания

суть лишь моменты; только ставшее есть то, что перешло в беэразличие

наличного бытия и во внешность, - определенное количество. - Но если

философия истинного понятия [бесконечного] должна признать эти определения

бесконечного, приведенные относительно приращений или убывании, то сразу же

следует заметить, что самые формы приращения и т. д. находятся внутри

категории непосредственного определенного количества и указанного выше

непрерывного движения вперед и что представления о приращении, приросте,

умножении х на dx или г и т. д. должны рассматриваться скорее как основное

зло этих методов как постоянное препятствие к возвышению от представления об

обычном определенном количестве к чистому определению качественного момента

количества.

Против указанных определений очень отстало представление о бесконечно

малых величинах, связанное с [представлением о] самом приращении или

убывании. Согласно этому представлению, бесконечно малые величины таковы,

что можно пренебрегать не только ими самими при сравнении с конечными

величинами, но также их высшими разрядами при сравнении с низшими, а равно и

произведениями нескольких таких величин при сравнении с одной. - У Лейбница

особенно подчеркивается требование такого пренебрежения, которому отдали

дань и предшествующие изобретатели методов, касавшихся этих величин. Прежде

всего именно это пренебрежение придает указанному исчислению, несмотря на

то, что оно удобно, видимость неточности и явной неправильности способа его

действий. - Вольф старался объяснить это пренебрежение [величинами], следуя

своей манере делать общедоступными рассматриваемые им вопросы, т. е. лишать

понятие чистоты и подменять его неправильными чувственными представлениями.

А именно он сравнивает пренебрежение бесконечно малыми разностями высших

разрядов относительно низших с образом действия геометра, при котором

измерение высоты горы нисколько не делается менее точным, если ветер сдунет

песчинку с ее вершины или если не будет принята во внимание высота домов и

башен при вычислении лунных затмений (Element. mathes. univ. Tom I. El.

analys. math. P. II. C. I. S. schol.).

Если снисходительность здравого смысла дозволяет такую неточность, то все

геометры, напротив, отвергали такого рода представление. Сама собой

напрашивается мысль, что в математической науке идет речь вовсе не о такой

эмпирической точности и что математическое измерение посредством ли

вычислении или посредством геометрических построений и доказательств

совершенно отлично от измерения земли, от измерения эмпирических линий,

фигур и т. п. Да и помимо того, как уже было указано выше, аналитики,

сравнивая результаты, получаемые строго геометрическим путем, с

результатами, получаемыми методом бесконечно малых разностей, доказывают,

что они одинаковы и что большая или меньшая точность [здесь] вовсе не имеет

места. А ведь само собой разумеется, что абсолютно точный результат не мог

бы получиться при неточном способе действия. Однако, с другой стороны, сам

способ действия, несмотря на протесты против приведенных в оправдание

доводов, не может обойтись без пренебрежения [величиной ] на том основании,

что она незначительна. И в этом состоит трудность, побуждающая аналитиков

объяснить заключающуюся здесь бессмыслицу и устранить ее.

По этому вопросу следует прежде всего привести мнение Эйлера. Исходя из

общего определения Ньютона, он твердо убежден, что дифференциальное

исчисление рассматривает отношения приращений величины, но что бесконечно

малую разность, как таковую, следует рассматривать как нуль (Institut. calc.

different., р. I. с. III). - Как это надо понимать, видно из изложенного

выше; бесконечно малая разность есть нуль лишь как определенное количество,

а не качественный нуль; а как нуль по количеству она скорее чистый момент

лишь отношения. Она не различие на некоторую величину. Но именно поэтому, с

одной стороны, вообще ошибочно называть моменты, именуемые бесконечно малыми

величинами, также и приращениями или убываниями и разностями. Это

определение исходит из того, что к имеющейся сначала конечной величине

что-то прибавляется или что-то от нее отнимается, что производится некоторое

вычитание или сложение, некоторое арифметическое, внешнее действие. Но что

касается перехода от функции переменной величины к ее дифференциалу, то по

нему видно, что он совершенно другого характера, а именно, как уже было

разъяснено, он должен рассматриваться как сведение конечной функции к

качественному отношению ее количественных определений. - С другой стороны,

сразу бросается в глаза ошибочность утверждения, будто приращения сами по

себе - это нули и будто рассматриваются только их отношения; ведь нуль

вообще уже не имеет никакой определенности. Это представление, стало быть,

хотя и доходит до отрицательности определенного количества и определенно

выражает эту отрицательность, однако в то же время не схватывает ее в ее

положительном значении качественных определений количества, которые, если

хотят вырвать их из отношения и брать их как определенные количества,

окажутся лишь нулями. - Лагранж 109 (Theorie des fonct. analyt. Introd.)

замечает относительно представления о пределах или последних отношениях,

что, хотя и можно очень хорошо представить себе отношение двух величин, пока

они остаются конечными, это отношение не дает рассудку ясного и

определенного понятия, как только его члены становятся одновременно нулями.

- И в самом деле, рассудок должен выйти за пределы той чистой

отрицательности, что как определенные количества члены отношения суть нули,

и понять их положительно как качественные моменты. - А то, что Эйлер (в

указанном месте 84 и ел.) прибавляет еще относительно данного [им ]

определения, чтобы показать, что две так называемые бесконечно малые

величины, которые якобы не что иное, как нули, тем не менее находятся в

отношении друг к другу, и потому для их обозначения пользуются не знаком

нуля, а другими знаками, - нельзя признать удовлетворительным. Он хочет это

обосновать различием между арифметическим и геометрическим отношениями: в

первом мы обращаем внимание на разность, во втором - на частное, и, хотя

арифметическое отношение между двумя нулями [всегда] одинаково, это не

значит, что точно так же обстоит дело с геометрическим отношением; если

2:1-0:0, то по природе пропорции, так как первый член вдвое больше второго,

третий член тоже должен быть вдвое больше четвертого; поэтому на основании

этой пропорции отношение 0 : 0 должно быть взято как отношение 2:1.- Также и

по обычной арифметике п х 0 ё 0; следовательно, п: 1=0:0.- Однако именно

потому, что 2 : 1 или п: 1 есть отношение определенных количеств, ему не

соответствует ни отношение, ни обозначение 0 : 0.

Я не буду приводить мнения еще других [математиков ], так как

рассмотренные уже достаточно показали, что в них, правда, содержится

истинное понятие бесконечного, но что оно не выделено и не сформулировано во

всей своей определенности. Поэтому, когда [высказывающие эти взгляды]

переходят к самому действию, то на нем не может сказаться истинное

определение понятия; скорее возвращается конечная определенность количества,

и действие не может обойтись без представления о лишь относительно малом.

Исчисление делает необходимым подвергать так называемые бесконечные величины

обычным арифметическим действиям сложения и т. д., основанным на природе

конечных величин, и тем самым хотя бы на мгновение признавать эти

бесконечные величины конечными и трактовать их как таковые. Исчисление

должно было бы обосновать правомерность того, что оно, с одной стороны,

низводит эти величины, вовлекает их в эту сферу и трактует их как приращения

или разности, а с другой - пренебрегает ими как определенными количествами

после того, как оно только что применяло к ним формы и законы конечных

величин.

Я коснусь еще самого существенного в попытках геометров устранить эти

затруднения.

Более ранние аналитики меньше терзали себя такими сомнениями; но старания

новейших аналитиков были направлены главным образом на то, чтобы вновь

привести исчисление бесконечно малых к очевидности собственно

геометрического метода и с помощью этого метода достигнуть в математике

строгости доказательств древних (выражения Лагранжа). Однако так как принцип

анализа бесконечного по своей природе выше, чем принцип математики конечных

величин, то анализ бесконечного сразу же сам собой должен был отказаться от

этого рода очевидности, подобно тому как философия также не может притязать

на ту отчетливость, которая присуща наукам о чувственном, ' например

естественной истории, или подобно тому как еда и питье считаются более

понятным занятием, чем мышление и постижение посредством понятия

(Begreifen). Поэтому нам придется говорить " лишь о стараниях достигнуть

строгости доказательств древних.

Некоторые [аналитики] пытались обойтись совершенно без понятия

бесконечного и дать без него то, что казалось связанным с его применением. -

Лагранж, например, рассказывает о методе, изобретенном Ланденом, и говорит

об этом методе, что он чисто аналитический и не пользуется бесконечно малыми

разностями, а сначала вводит различные значения переменных величин и в

дальнейшем приравнивает их друг к другу. Лагранж, впрочем, заявляет, что при

этом утрачиваются свойственные дифференциальному исчислению преимущества, а

именно простота метода и легкость действий. - Это способ, в котором

заключается нечто соответствующее тому, из которого исходит Декартов метод

касательных (о нем нам придется ниже еще говорить подробнее). Здесь можем

заметить, что в общем сразу ясно, что этот способ придавать переменным

величинам различные значения и затем приравнивать их друг к другу вообще

относится к иному кругу математического рассмотрения, чем сам метод

дифференциального исчисления, и им не выделяется подлежащая в дальнейшем

более тщательному рассмотрению особенность того простого отношения, к

которому сводится действительное, конкретное определение этого исчисления, а

именно отношения производной функции к первоначальной.

Более ранние из математиков новейшего времени, как, например, Ферма,

Барроу и другие, которые первые пользовались бесконечно малыми в том

применении, которое позднее преобразовалось в дифференциальное и

интегральное исчисление, а затем также Лейбниц и последующие математики,

равно как и Эйлер, всегда откровенно заявляли, что они вправе отбрасывать

произведения бесконечно малых разностей, так же как и их высшие степени,

только на том основании, что они относительно, по сравнению с низшими

разрядами, исчезают. Единственно на этом соображении покоится у них основное

положение, а именно определение того, что такое дифференциал произведения

или степени, ибо к этому сводится все теоретическое учение. Остальное есть

отчасти механизм действий, отчасти же применение, которое, однако, как мы

покажем далее, на самом деле представляет больший, или, лучше сказать,

единственный интерес. -

Что касается рассматриваемого теперь вопроса, то следует здесь привести

лишь самое простое соображение: исходя из того же довода относительно

незначительности принимают как основное положение о кривых, что элементы

кривых, а именно приращения абсциссы и ординаты имеют между собой то же

отношение, что и подкасательная и ордината. С целью получить подобные

треугольники дуга, составляющая наряду с двумя приращениями третью сторону

треугольника, который прежде справедливо назывался характеристическим

треугольником, рассматривается как прямая линия, как часть касательной, и

потому одно из приращений - как доходящее до касательной. Эти допущения

возвышают, с одной стороны, указанные ранее определения над природой

конечных величин; с другой же стороны, к моментам, называемым теперь

бесконечными, [здесь] употребляется такой способ, который приложим лишь к

конечным величинам и применяя который мы не вправе чем-либо пренебрегать,

ссылаясь на незначительность. Затруднение, отягчающее метод, остается при

таком способе действия во всей своей силе.

Здесь мы должны указать на удивительный прием Ньютона (Princ. inath.

phil. nat. Ub. II. Lemma II, после propos. VII) - на изобретенную им

остроумную уловку для устранения арифметически неправильного отбрасывания

произведений бесконечно малых разностей или их высших разрядов при

нахождении дифференциалов. Он находит дифференциал произведения, из которого

легко затем вывести дифференциалы частного, степени и т. п., следующим

образом. Произведение, если уменьшить х и у, каждый порознь на половину его

бесконечной разности, а если увеличить х и у , ровно настолько же, то

произведение переходит в сумму. Если от этого второго произведения отнять

первое,

то получается разность ydx + xdy, которая есть избыток приращения на

целые dx и dy, так как именно этим приращением отличаются оба произведения;

следовательно, это и есть дифференциал ху. - Как видим, при этом способе сам

собой отпадает член [ряда ], составляющий главное затруднение, -

произведение обеих бесконечных разностей dxdy. Однако при всем уважении к

имени Ньютона следует сказать, что это, хотя и весьма элементарное, действие

неправильно.

Только потребность обосновать ввиду его важности исчисление

флюксий могла заставить такого математика, как Ньютон, обмануть себя

подобным способом доказательства.

Другие формы, которыми пользуется Ньютон при выведении f дифференциала,

связаны с конкретными, относящимися к движению значениями элементов и их

степеней. - Применение формы ряда, вообще характерное для его метода, сразу

наводит на мысль, что всегда в наших силах путем прибавления все новых

членов взять величину с той степенью точности, которая нам нужна, и что

отброшенные величины относительно незначительны, что вообще результат есть

лишь приближение', и Ньютон здесь также удовлетворился этим доводом, подобно

тому как он в своем методе решения уравнений высших степеней путем

приближения отбрасывает высшие степени, получающиеся при подстановке в

данное уравнение каждого найденного еще неточного значения, на том простом

основании, что они малы;

Ошибка, которую допустил Ньютон, решая задачу путем отбрасывания

существенных высших степеней, ошибка, которая дала повод противникам

торжествовать победу своего метода над его методом и истинный источник

которой указывает Лагранж в своем новейшем исследовании ее, доказывает, что

пользование этим орудием еще страдало формализмом и неуверенностью. Лагранж

показывает, что Ньютон допустил эту ошибку потому, что он пренебрег членом

ряда, содержащим важную для данной задачи степень. Ньютон придерживался

указанного выше формального, поверхностного принципа отбрасывания членов

[ряда] ввиду их относительной малости. - А именно известно, что в механике

членам ряда, в котором разлагается функция какого-нибудь движения, придается

определенное значение, так что первый член или первая функция соотносится с

моментом скорости, вторая - с силой ускорения, а третья - с сопротивлением

сил. Поэтому 'члены ряда должны рассматриваться здесь не только как части

некоторой суммы, но как качественные моменты некоторого понятия как целого.

Благодаря этому отбрасывание остальных членов, принадлежащих к дурно

бесконечному ряду, имеет смысл, совершенно отличный от отбрасывания их на

основании их относительной малости. Решение задачи, данное Ньютоном,

оказалось ошибочным не потому, что в нем не принимаются во внимание члены

ряда лишь как части некоторой

суммы, а потому, что не принимается во внимание член, содержащий

качественное определение, которое здесь важнее всего.

В этом примере качественный смысл есть то, от чего ставится в зависимость

способ действия. В связи с этим мы можем тотчас же привести общее

утверждение, что все затруднение с принципом было бы устранено, если бы

вместо формализма, исходя из которого определение дифференциала усматривают

лишь в задаче, дающей ему это имя, [т. е.] в отличии вообще функции от ее

изменения после того, как ее переменная величина получила некоторое

приращение, - если бы вместо этого формализма было указано качественное

значение принципа и действие было поставлено в зависимость от этого

качественного значения. В этом смысле дифференциал от х полностью исчерпан

первым членом ряда, получающегося путем разложения (х + dxY). Таким образом,

остальные члены не принимаются во внимание не из-за их относительной

малости; здесь не предполагается никакой такой неточности, погрешности или

ошибки, которая бы исправлялась и устранялась другой ошибкой, - взгляд,

исходя главным образом из которого Карно обосновывает правомерность обычного

метода исчисления бесконечно малых. Так как дело идет не о сумме, а об

отношении, то дифференциал полностью находят посредством. первого члена; там

же, где есть нужда в новых членах, в дифференциалах высших разрядов, их

нахождение (Bestimmung) состоит не в продолжении ряда как суммы, а в

повторении одного и того же отношения, единственно которое имеют в виду и

которое,

стало быть, полностью имеется уже в первом члене. Потребность в форме

некоторого ряда, в суммировании этого ряда и все, что связано с этим, должны

в таком случае быть совершенно отделены от указанного интереса отношения.

Разъяснения, даваемые Карно относительно метода бесконечных величин, -

это наиболее ясное и четкое изложение того, что нам встретилось в указанных

выше представлениях. Но при переходе к самим действиям у него в той или иной

мере появляются обычные представления о бесконечной малости опускаемых

членов по сравнению с другими. Он оправдывает метод не столько самой

природой вещей, сколько тем фактом, что результаты оказываются правильными,

и полезностью введения неполных уравнений, как он их называет (т. е. таких,

в которых осуществляют такое арифметически неправильное отбрасывание), для

упрощения и сокращения исчисления.

Лагранж, как известно, вновь принял первоначальный метод Ньютона, метод

рядов, чтобы избавиться от трудностей, связанных с представлением о

бесконечно малом, равно как и с методом первых и последних отношений и

пределов. Относительно его исчисления функций, прочие преимущества которого

в отношении точности, абстрактности и всеобщности достаточно известны, мы

должны отметить - поскольку это касается нашей темы - лишь то, что оно

исходит из основного положения, что разность, не превращаясь в нуль, может

быть принята столь малой, что каждый член ряда превосходит по величине сумму

всех следующих за ним членов. - При этом методе также начинают с категории

приращения и разности функций, переменная величина которой получает

приращение, что и вызывает появление докучливого ряда; равно как в

дальнейшем члены ряда, которые должны быть опущены, принимаются в

соображение, лишь поскольку они составляют некоторую сумму, и основание,

почему они отбрасываются, усматривается в относительности их определенного

количества. Отбрасывание, следовательно, и здесь не сводится вообще к точке

зрения, встречающейся, с одной стороны, в отдельных видах применения, в

которых, как мы упомянули раньше, члены ряда должны иметь определенное

качественное значение и часть из них оставляется без внимания не потому, что

они незначительны по величине, а потому, что они незначительны по качеству;

с другой же стороны, отбрасывание зависит от той существенной точки зрения,

которая определенно выступает у Лагранжа относительно так называемых

дифференциальных коэффициентов лишь в так называемом применении

дифференциального исчисления, что мы подробнее разъясним в следующем

примечании.

Качественный характер вообще, свойственный (как мы здесь доказали

относительно обсуждаемой нами формы величины) тому, что при этом называется

бесконечно малым, обнаруживается непосредственнее всего в категории предела

отношения, которая приведена выше и проведение которой в дифференциальном

исчислении было названо особого рода методом. Из рассуждений Лагранжа об

этом методе, что ему недостает легкости в применении и что термин предел не

вызывает определенной идеи, мы остановимся на втором и рассмотрим более

подробно его аналитическое значение. Именно в представлении о пределе и

содержится указанная выше истинная категория качественного определения

отношения между переменными величинами; ибо формы их, которые появляются, dx

и dy, должны быть взяты dy dx здесь просто лишь как моменты - и само .-

следует рассматривать как единый неделимый знак. Что для механизма

исчисления, особенно в его применении, утрачивается преимущество, которое он

извлекает из того обстоятельства, что члены дифференциального коэффициента

обособляются друг от друга, - это следует здесь оставить без внимания. Этот

предел должен быть теперь пределом данной функции; он должен указать

некоторое значение в связи с ней, определяемое способом выведения. Но с

одной лишь категорией предела мы не подвинулись бы дальше, чем с тем, о чем

дело шло в этом примечании, имеющем целью показать, что бесконечно малое,

встречающееся в дифференциальном исчислении как dx и dy, имеет не только

отрицательный, никчемный смысл некоторой неконечной, не данной величины, как

это имеет место, [например], когда говорят: "бесконечное множество", "и т.

д. до бесконечности" и т. п., а определенный смысл качественной

определенности количественного, момента отношения, как такового. Однако эта

категория, взятая в таком смысле, еще не имеет отношения к данной функции,

еще не влияет сама по себе на рассмотрение этой функции и не приводит к

такому пользованию указанным определением, которое должно было бы иметь

место в последней; таким образом, и представление о пределе, ограниченное

такой доказанной относительно него определенностью, также ни к чему не

привело бы. Но термин предел уже сам по себе подразумевает, что это предел

чего-то, т. е. выражает некоторое значение, заключающееся в функции

переменной величины; и мы должны посмотреть, каково это конкретное

оперирование им.

Он должен быть пределом отношения друг к другу двух приращений, на

которые, по сделанному допущению, увеличиваются две переменные величины,

соединенные в одном уравнении, из которых одна рассматривается как функция

другой;

приращение берется здесь вообще неопределенным, и постольку бесконечно

малым еще не пользуются. Но путь, которым отыскивается этот предел, приводит

прежде всего к тем же непоследовательностям, которые имеются в других

методах. Этот путь именно таков. Если у - fx, то при переходе у в у + k fx

должно переходить в fx + ph + ah2 + rh3 и т. д. Следовательно, k = ph + gh2

и т. д. и р + qh + rh2 и т. д. Если теперь k и h исчезают, то исчезает и

второй член ряда кроме р, которое и есть предел отношения этих двух

приращений. Отсюда видно, что А как определенное

О, но что вследствие этого в то же время h

количество полагается еще не равно, а остается некоторым отношением. И

вот представление о пределе должно принести ту пользу, что оно устранит

заключающуюся здесь непоследовательность; р должно в то же время быть не

действительным отношением, которое было бы = ",

а лишь тем определенным значением, к которому отношение может

приближаться бесконечно, [т. е. ] так, чтобы разность могла стать меньше

всякой данной разности. Более определенный смысл приближения относительно

того, что, собственно, должно сближаться между собой, будет рассмотрен ниже.

- Но что количественное различие, определяемое не только как могущее, но и

как долженствующее быть меньше всякой данной величины, уже не количественное

различие, это само собой ясно; это так же очевидно, как что-то вообще может

быть очевидным в математике; но этим мы не пошли дальше dy/dx=0/0. Если же

dy/dx=p, т.е. принимается за определенное количественное отношение, как это

и есть на самом деле, то, наоборот, возникает трудность для предположения,

что h=0, предположения - единственно в основании k которого и получается

k/n=p. Если же согласиться, что k/n=0 и в самом деле, раз h = 0, то само

собой k также становится - 0, ибо приращение k к у имеет место лишь при

условии, что приращение составляет h, - то надо было бы спросить, что же

такое р, которое есть совершенно определенное количественное значение. На

этот вопрос сразу же само собой получается простой, ясный ответ, что оно

коэффициент, и нам указывают, на основании какого выведения он возникает, -

некоторым определенным образом выведенная первая производная функция

первоначальной функции. Если довольствоваться этим ответом, как и в самом

деле Лагранж по существу дела удовольствовался им, то общая часть науки

дифференциального исчисления и непосредственно сама форма его, которая

называется теорией пределов, освободилась бы от приращений, а затем и от их

бесконечной или какой угодно малости, от трудности, состоящей в том, что

кроме первого члена или, вернее, лишь коэффициента первого члена, все

остальные члены ряда, которые неизбежно появляются благодаря введению этих

приращений, вновь устраняются; но помимо этого она очистилась бы также и от

всего того, что дальше связано с этим, от формальных категорий прежде всего

бесконечного, от бесконечного приближения, а затем и от дальнейших, здесь

столь же пустых категорий непрерывной величины и всех еще других, которые

считают нужным ввести, таких как стремление, становление, повод к изменению.

Но в таком случае требовалось бы показать, какое еще значение и ценность, т.

е. какую связь и какое употребление для дальнейших математических целей

имеет р помимо того ясного определения, для теории совершенно достаточного,

что оно не что иное, как полученная путем разложения бинома производная

функция; об этом будет сказано во втором примечании. -Здесь же мы прежде

всего разберем ту путаницу, которую приведенное выше столь обычное в

изложениях пользование представлением о приближении внесло в понимание

собственной, качественной определенности того отношения, о котором прежде

всего шла речь.

Мы показали, что так называемые бесконечно малые разности выражают собой

исчезание членов отношения как определенных количеств и что то, что после

этого остается, есть их количественное отношение, исключительно лишь

поскольку оно определено качественным образом; качественное отношение здесь

утрачивается столь мало, что оно скорее есть именно то, что получается от

превращения конечных величин в бесконечные. В этом, как мы видели, состоит

вся суть дела. - Так, например, в последнем отношении исчезают определенные

количества абсциссы и ординаты. Но члены этого отношения остаются в своем

существе: один - элементом ординаты, а другой - элементом абсциссы. Так как

[здесь] применяют способ представления, бесконечно приближающий одну

ординату к другой, то ранее различенная ордината переходит в другую

ординату, а ранее различенная абсцисса - в другую абсциссу; но по сути дела

ни ордината не переходит в абсциссу, ни абсцисса - в ординату. Ограничиваясь

этим примером переменных величин, следует сказать, что элемент ординаты

необходимо брать не как отличие одной ординаты от другой, а скорее как

отличие или качественное определение величины относительно элемента

абсциссы; принцип одной переменной величины и принцип другой находятся в

отношении друг к другу. Различие, не будучи больше различием конечных

величин, перестало быть многообразным внутри самого себя, оно свелось в

простую интенсивность, в определенность одного качественного момента

отношения сравнительно с другим.

Но эта суть дела затемняется тем обстоятельством, что то, что мы только

что назвали элементом, например ординаты, понимается затем как разность или

приращение [в том смысле], что оно будто бы лишь различие между определенным

количеством одной ординаты и определенным количеством другой. Предел,

следовательно, не имеет здесь смысла отношения; он считается лишь тем

последним значением, к которому другая величина того же рода постоянно

приближается таким образом, что она может сколь угодно мало отличаться от

него и что последнее отношение есть отношение равенства. Таким образом,

бесконечно малая разность оказывается как бы неустойчивостью отличия (das

Schweben eines Unterschieds) одного определенного количества от другого, и

[ее ] качественная природа, сообразно которой dx есть по своему существу

определение отношения не к л, а к dy, отступает в представлении на задний

план. [В дифференциальном исчислении] заставляют dx2 исчезнуть относительно

dx, но еще больше исчезает dx относительно х, а это поистине означает: dx

находится в отношении лишь к dy. При таком способе изложения для геометров

важно прежде всего сделать понятным приближение величины к ее пределу и

держаться той стороны отличия одного определенного количества от другого, с

которой оно не отличие и тем не менее все еще отличие. Но помимо всего

прочего приближение есть само по себе категория, ничего не говорящая и

ничего не делающая понятным; уже dx оставило приближение позади себя, оно не

близко и не есть нечто более близкое, и бесконечная близость сама есть лишь

отрицание близости и приближения.

Стало быть, поскольку вышло так, что приращения или бесконечно малые

разности рассматривались лишь со стороны определенного количества, которое в

них исчезает, и лишь как его 3 предел, их понимают как безотносительные

моменты. Из этого вытекало бы неприемлемое представление, будто в последнем

отношении допустимо приравнивать друг к другу, например, абсциссу и

ординату, или же синус, косинус, тангенс, sinus versus и что угодно еще. -

Может казаться, что такое представление имеет место тогда, когда дуга

рассматривается как касательная; ибо и дуга, конечно, тоже несоизмерима с

прямой линией и ее элемент имеет прежде всего другое качество, нежели

элемент прямой линии. Может показаться еще более бессмысленным и

недопустимым, чем смешение абсциссы, ординаты, sinus versus, косинуса и т.

д., принимать quadra ta rotundis, принимать часть дуги, хотя бы и бесконечно

малую, за долю касательной и тем самым рассматривать ее как прямую линию. -

Однако такое рассмотрение следует по существу отличать от вызывающего

порицание смешения; оно имеет свое оправдание в том, что в треугольнике,

.имеющем своими сторонами элемент некоторой дуги и элементы ее абсциссы и

ординаты, отношение остается тем же, как если бы элемент дуги был элементом

прямой линии, касательной; углы, составляющие сущностное отношение, т. е.

отношение, которое сохраняется в этих элементах, когда абстрагируются от

присущих им конечных величин, суть те же. - Можно это выразить и так, что

прямые линии как бесконечно малые стали кривыми линиями, и отношение между

ними при их бесконечности есть отношение между кривыми. Так как прямая

линия, согласно дефиниции, есть кратчайшее расстояние между двумя точками,

то ее отличие от кривой линии основано на определении множества, на меньшем

множестве различимого в этом расстоянии, чтб, стало быть, есть определение

определенного количества. Но это определение в ней исчезает, коща мы

принимаем ее за интенсивную величину, за бесконечный момент, за элемент; тем

самым исчезает и ее отличие от кривой линии, основанное единственно лишь на

различии определенного количества. - Следовательно, как бесконечные, прямая

линия и дуга не сохраняют никакого количественного отношения друг к другу и

потому, на основании принятой дефиниции, не имеют больше и никакого

качественного отличия друг от друга, скорее первая переходит во вторую.

Родственным и тем не менее отличным от приравнивания разнородных

определений оказывается само по себе неопределенное и совершенно

безразличное утверждение, что бесконечно малые части одного и того же целого

равны между собой. Однако примененное к разнородному внутри себя предмету,

т. е. к предмету, который обременен сущностной неравномерностью определения

величин, это утверждение приводит к содержащемуся в теореме высшей механики

своеобразно превратному положению, что в равные и притом бесконечно малые

промежутки времени проходят бесконечно малые части кривой в равномерном

движении, причем утверждение это касается такого движения, в котором в

равные конечные, т. е. существующие части времени, проходят конечные, т. е.

существующие неравные части кривой, т. е., стало быть, касается движения,

которое как существующее неравномерно и признается таковым. Это положение

есть словесное выражение того, что должен означать собой аналитический член,

получающийся в приведенном выше разложении формулы неравномерного, но,

впрочем, соответствующего некоторому закону движения. Более ранние

математики старались выразить результаты вновь изобретенного исчисления

бесконечно малых, которое и без того всегда имело дело с конкретными

предметами, в словах и положениях и изобразить их геометрически, главным

образом для того, чтобы применять их для доказательства теорем по обычному

способу. Члены математической формулы, на которые анализ разлагал величину

предмета, например движения, получали, таким образом, предметное значение,

например значение скорости, ускоряющей силы и т. п. Они должны были,

согласно такому значению, доставлять правильные положения, физические

законы, и сообразно их аналитической связи должны были определяться и их

объективные связи и отношения, как, например, что в равномерно ускоренном

движении существует особая пропорциональная временам скорость, к которой

кроме того всегда присоединяется приращение, сообщаемое силой тяжести. Такие

положения приводятся в новейшей, получившей аналитическую форму механике

исключительно как результаты исчисления, причем она не заботится о том,

имеют ли они для себя и в самом себе реальный смысл, т. е. такой, которому

соответствует существование, не заботится и о том, чтобы это доказать.

Трудность сделать понятной связь таких определений, когда их берут в явно

реальном смысле, например объяснить переход от просто равномерной

(schlechtgleichfennigen) скорости к равномерному ускорению, считается

совершенно устраненной аналитическим рассмотрением, в котором указанная

связь есть простое следствие прочного отныне авторитета действий исчисления.

Нахождение законов, выходящих за пределы опыта, т. е. нахождение положений о

существовании, не имеющих существования, единственно лишь путем вычисления,

выдается за торжество науки. Но в первое, еще наивное время исчисления

бесконечно малых математики всячески старались указать и разъяснить

самостоятельный реальный смысл этих представленных в геометрических

построениях определений и положений и применять их в таком смысле для

доказательства главных положений, о которых шла речь (ср. Ньютоново

доказательство основного положения его теории тяготения в Princ. mathemat.

philisophiae naturalis, lib. I, sect. II, prop. I, с "Астрономией"

Шуберта11Э (изд. 1-е, т. III, 20), в которых признается, что дело обстоит не

совсем так, т. е. что в пункте, составляющем самый нерв доказательства, дело

обстоит не так, как это принимает Ньютон).

Нельзя отрицать, что в этой области многое, главным образом из-за

туманного понятия бесконечно малого, было принято в качестве доказательства

только на том основании, что то, чтб получалось, всегда было заранее

известно, и доказательство, построенное таким образом, что получалось это

заранее известное, создавало по крайней мере видимость остова

доказательства, которую все еще предпочитали одной лишь вере или одному лишь

опытному знанию. Но я не колеблясь скажу, что рассматриваю эту манеру просто

как фокусничество и жонглирование доказательствами и причисляю к такого рода

фокусничанию даже Ньютоновы доказательства, в особенности принадлежащие к

только что приведенным, за которые превозносили Ньютона до небес и ставили

его выше Кеплера, утверждая, что первый математически доказал то, что второй

нашел лишь опытным путем.

Пустой остов таких доказательств был воздвигнут, чтобы доказать

физические законы. Но математика вообще не в состоянии доказать определения

величины в физике, поскольку эти определения суть законы, имеющие своей

основой качественную природу моментов; математика не в состоянии это сделать

по той простой причине, что она не философия, не исходит из понятия, и

поэтому качественное, поскольку оно не почерпается с помощью лемм из опыта,

находится вне ее сферы. Отстаивание чести математики, настаивание на том,

что все встречающиеся в ней положения должны быть строго доказаны,

заставляло ее часто забывать свои границы. Так, казалось противным ее

достоинству просто признать опыт источником и единственным доказательством

встречающихся в ней опытных положений. Позднее сознание этого стало более

развитым, но до тех пор, пока сознание не уяснит себе различие между тем,

что может быть доказано математически, и тем, что может быть почерпнуто лишь

из другого источника, равно как и различие между тем, что составляет лишь

член аналитического разложения, и тем, что представляет собой физическое

существование, до тех пор научность не сможет достигнуть строгости и

чистоты. - А что касается указанного остова Ньютоновых доказательств, то его

без сомнения еще настигнет такой же справедливый суд, который настиг другое

неосновательное искусственное построение Ньютона, опирающееся на оптические

эксперименты и связанные с ними умозаключения. Прикладная математика еще

полна такого рода варевом из опыта и рефлексии. Но подобно тому как уже с

довольно давних пор стали фактически игнорировать в науке одну часть

ньютоновской оптики за другой, с той, однако, непоследовательностью, что еще

сохраняются, хотя и в противоречии с этим, прочие части ее, точно так же

является фактом, что часть упомянутых мнимых доказательств уже сама собой

предана забвению или заменена другими доказательствами.

Примечание 2 Цель дифференциального исчисления, вытекающая из его

применения

В предшествующем примечании мы рассмотрели, с одной стороны,

определенность понятия бесконечно малого, которым пользуются в

дифференциальном исчислении, с другой - основание ее введения в это

исчисление. И то и другое - абстрактные и потому сами по себе также и легкие

определения. Так называемое применение представляет больше трудностей, равно

как и более интересную сторону; элементы этой конкретной стороны составят

предмет настоящего примечания. -

Дальше нечему учиться; выведение ближайших форм, дифференциала

произведения, показательной функции и т. д. получается из этой формулы

механически; в короткое время, в каких-нибудь полчаса - с нахождением

дифференциалов дано также и обратное: нахождение первоначальной функции на

основании дифференциалов, интегрирование - можно овладеть всей теорией.

Задерживает на ней дольше лишь старание усмотреть, сделать [для себя]

понятным, каким образом после того, как одна сторона (Umstand) задачи,

нахождение этого коэффициента, решена так легко аналитическим, т. е.

совершенно арифметическим способом, посредством разложения функции

переменной величины, приобретшей через приращение форму двучлена,

оказывается правильной также и другая сторона, а именно отбрасывание всех

членов возникающего ряда, кроме первого. Если бы было так, что единственно

лишь этот коэффициент и нужен, то после его нахождения (Bestinunung) было

бы, как мы сказали, менее чем за полчаса покончено со всем, что касается

теории, и отбрасывание прочих членов ряда представляло бы столь мало

затруднений, что скорее о них как о членах ряда (как второй, третьей и т. д.

[производной] функции их определение равным образом уже закончено с

определением первого члена) вовсе и не было бы речи, так как в них

совершенно нет надобности.

Можно здесь предпослать замечание, что по методу дифференциального

исчисления сразу видно, что он изобретен и установлен не как нечто

самодовлеющее; он не только не обоснован сам по себе, как особый способ

аналитического действия, но насильственность, заключающаяся в том, что прямо

отбрасываются члены, получающиеся посредством разложения функции, несмотря

на то, что все это разложение признается полностью относящимся к делу - ибо

дело именно и усматривается в отличии разложенной функции переменной

величины (после того как ей придана форма двучлена) от первоначальной

функции, - скорее совершенно противоречит всем математическим принципам. И

потребность в таком образе действий, и отсутствие внутреннего его оправдания

сразу же указывают на то, что его источник и основание находятся где-то вне

его. Это не единственный случаи в науке, когда то, что ставится вначале как

элементарное и из чего, как предполагают, должны быть выведены положения

данной науки, оказывается неочевидным и имеющим свою причину и обоснование

скорее в последующем. История возникновения дифференциального исчисления

показывает, что оно имело свое начало главным образом как бы в кунштюках - в

различных так называемых методах касательных; после того как образ действия

был распространен и на другие предметы, он был осознан позднее и выражен в

абстрактных формулах, которые теперь старались также возвысить до принципов.

Выше мы показали, что определенность понятия так называемых бесконечно

малых есть качественная определенность таких количеств, которые прежде всего

как определеннные количества положены находящимися в отношении друг к другу,

а затем в связи с этим присоединялось эмпирическое исследование, ставившее

себе целью обнаружить эту определенность понятия в имеющихся описаниях или

дефинициях бесконечно малого, которые берут его как бесконечно малую

разность и тому подобное. - Мы это сделали лишь для того, чтобы достигнуть

абстрактной определенности понятия, как таковой. Дальше возникает вопрос:

каков переход от нее к математической форме и ее применению. Для этой цели

прежде всего нужно развить дальше теоретическую сторону, определенность

понятия, которая окажется в самой себе не совсем бесплодной; затем следует

рассмотреть отношение ее к применению и доказать относительно их обоих,

насколько это здесь уместно, что [получающиеся] общие выводы в то же время

соответствуют тому, что принадлежит к сущности дифференциального исчисления,

и тому способу, каким оно достигает своей цели.

Прежде всего следует напомнить, что мы уже объяснили мимоходом ту форму,

которую имеет в области математики рассматриваемая нами теперь

определенность понятия. Мы показали качественную определенность

количественного сначала в количественном отношении вообще; но уже при

разъяснении различных так называемых видов счета (см. относящееся к этому

примечание) мы, забегая вперед, указали, что именно в степенном отношении,

которое нам предстоит еще рассмотреть в своем месте, число через приравнение

моментов его понятия, единицы и численности, положено как возратившееся к

самому себе, и тем самым оно приобретает в себе момент бесконечности,

для-себя-бытия, т. е. определяется самим собой. Ясно выраженная качественная

определенность величин принадлежит, таким образом (это также было упомянуто

выше), по своему существу к степенным определениям, а так как специфика

дифференциального исчисления заключается в том, что оно оперирует

качественными формами величин, то свойственным ему математическим предметом

необходимо должно быть рассмотрение форм степеней, и все задачи и их

решения, ради которых применяется дифференциальное исчисление, показывают,

что интерес в них состоит единственно лишь в рассмотрении степенных

определений, как таковых.

Как ни важна эта основа и хотя она сразу же ставит на первое место нечто

определенное, а не чисто формальные категории переменных, непрерывных или

бесконечных величин и т. п. или только функции вообще, она все же еще

слишком обща;

ведь с тем же самым имеют дело и другие действия; уже возведение в

степень и извлечение корня, а затем действия над показательными величинами и

логарифмами, ряды, уравнения высших степеней, имеют интерес и применение

только к отношениям, основанным на степенях. Нет сомнения, что все они в

своей совокупности составляют систему рассмотрения степеней; но ответ на

вопрос, какие именно из этих отношений, в которые могут быть поставлены

степенные определения, составляют собственный предмет и интерес

дифференциального исчисления, должен быть почерпнут из него самого, т. е. из

его так называемых применений. Последние и составляют самое суть,

действительный способ действия в математическом решении того или иного круга

проблем; этот способ действия существовал раньше теории или общей части, и

применением оно было названо позднее лишь по отношению к созданной затем

теории, которая ставила себе целью, с одной стороны, установить общий метод

этого способа действия, с другой - дать ему принципы, т. е. обоснование.

Какими тщетными для господствовавшего до сих пор понимания этого способа

действия были старания найти принципы, которые действительно разрешили бы

выступающее здесь противоречие, а не оправдывали бы или не прикрывали бы его

ссылкой на незначительность того, что согласно математическому способу

действия хотя и необходимо, но здесь должно быть отброшено, или ссылкой на

сводящуюся к тому же самому возможность бесконечного или какого угодно

приближения и т. п., -это мы показали в предыдущем примечании. Если бы

всеобщее этого способа действия было абстрагировано из действительной части

математики, именуемой дифференциальным исчислением, иначе, чем это делалось

до сих пор, то эти принципы и занятие ими оказались бы столь же излишними,

сколь они в самих себе оказываются чем-то неправильным и постоянно

противоречивым.

Если будем доискиваться этой специфики, просто обозревая то, что имеется

в этой части математики, то мы найдем в качестве ее предмета а) уравнения, в

которых какое угодно число величин (мы можем здесь ограничиться вообще

двумя) связано в одно целое определенности так, что эти величины, во-первых,

имеют свою определенность в эмпирических величинах как твердых пределах, а

затем в такой же связи и с последними, и между собой, как это вообще имеет

место в уравнениях; не так как здесь имеется лишь одно уравнение для обеих

величин (если величин более двух, то и число уравнений соотютственно

увеличивается, но всегда оно будет меньше числа величин), то это уравнения

неопределенные. Во-вторых, они связаны так, что одна из сторон [уравнения],

сообщающая этим величинам их определенность, заключается в том, что они (по

крайней мере одна из них) даны в уравнении в более высокой степени, чем

первая степень.

Относительно этого мы прежде всего должны сделать несколько замечаний.

Во-первых, величины, взятые со стороны верного из указанных выше

определений, носят всецело характер лишь таких переменных величин, какие

встречаются в задачах неопределенного анализа. Их значение неопределенно, но

так, что если одна получает откуда-то извне совершенно определенное

значение, т. е. числовое значение, то и другая становится определенной;

таким образом, одна есть функция другой. Поэтому категории переменных

величин, функций и тому подобное, как уже сказано выше, только формальны для

специфической определенности величин, о которой здесь идет речь, так как

присущая им всеобщность еще не содержит того специфического, что :оставляет

весь интерес дифференциального исчисления и что нельзя объяснить из нее при

помощи анализа; они сами по себе простые, незначительные, легкие

определения, которые делаются трудными только тогда, когда вкладывают в них

то, чего в ник нет, для того чтобы иметь затем возможность вывести его из

них, а именно вкладывают специфическое определение дифференциального

исчисления. - Что касается, далее, так называемой константы, то о ней можно

заметить, что она прежде всего безразличная эмпирическая величина, имеющая

для переменных величин определяющее значение лишь по своему эмпирическому

определенному количеству, как предел их минимума и максимума; но способ

соединения констант с переменными величинами сам составляет один из моментов

для природы частной фуякции, которую образуют эти величины. Но и наоборот,

сами константы также функции. Поскольку, например, прямая линия имеет

значение параметра параболы, это ее значение состоит в том, что она функция;

так же как в разложении двучлена вообще константа как коэффициент первого

члена ряда есть сумма корней, как коэффициент второго члена - сумма их

произведений по два и т. д., стало быть, эти константы суть здесь вообще

функции корней. Там, где в интегральном исчислении константа определяется из

данной формулы, она трактуется как ее функция. Эти коэффициенты мы

рассмотрим далее и в другом определении как функции, конкретное значение

которых составляет весь [их ] интерес.

Но то характерное, которым рассмотрение переменных величин в

дифференциальном исчислении отличается от их свойства в неопределенных

задачах, мы должны видеть в том, что по крайней мере одна из этих величин

или даже все они имеют степень выше первой, причем опять-таки безразлично,

все ли они имеют одну и ту же высшую степень или они имеют неодинаковую

степень; специфическая неопределенность, которую они здесь имеют, состоит

единственно лишь в том, что они функции друг друга в таком степенном

отношении. Благодаря этому изменение переменных величин детерминировано

качественно и, стало быть, оно непрерывно, и эта непрерывность, которая сама

по себе есть опять-таки лишь формальная категория некоторого тождества

вообще, некоторой определенности, сохраняющейся в изменении, остающейся

равной себе, имеет здесь свой детерминированный смысл, и притом единственно

лишь в степенном отношении, которое не имеет своим показателем никакого

определенного количества и составляет не-количественную, сохраняющуюся

определенность отношения переменных величин. Поэтому следует возразить

против формализма другого рода, что первая степень есть степень лишь в

отношении к более высоким степеням; сам по себе х есть лишь какой-то

неопределенный квант. Поэтому нет смысла дифференцировать само по себе

уравнения у = ax + в, прямой линии, или s = ct, уравнение просто равномерной

скорости. Если из у = ах или же из у = ах + в получается а = dy/dx или из s

= ct получается . = с, то в такой же мере определением тангенса будет а =

у/х или определением просто равномерной скорости s/t = с. Последняя

выражается через dy/dx в связи с тем, что выдается за разложение [в ряд]

равномерно ускоренного движения. Но что в системе такого движения

встречается момент простой, просто равномерной скорости, т. е. не

определенной высшей степенью одного из моментов движения, - это само есть,

как отмечено выше, неосновательное допущение, опирающееся единственно лишь

на рутину метода. Так как метод исходит из представления о приращении,

получаемом переменной величиной, то, конечно, приращение может получить и

такая переменная величина, которая есть лишь функция первой степени; если же

после этого, чтобы найти дифференциал, берут отличие возникшего таким

образом второго уравнения от данного, то сразу же обнаруживается

бесполезность действия: уравнение, как мы уже заметили, до и после этого

действия остается для так называемых приращений тем же, что и для самих

переменных величин.

в) Сказанным определяется природа подлежащего действию уравнения и теперь

необходимо показать, какой интерес преследует это действие. Такое

рассмотрение может нам дать лишь знакомые уже результаты, какие по своей

форме имеются особенно в понимании этого предмета Лагранжем; но я придал

изложению совершенно элементарный характер, чтобы устранить приметавшиеся

сюда чужеродные определения. - Основой для действий над уравнением

указанного вида оказывается то, что степень внутри самой себя понимается как

отношение, как система определений отношения. Степень, указали мы выше, есть

число, поскольку его изменение определено им же самим, его моменты, единица

и численность, тождественны, - полностью, как мы выяснили ранее, прежде

всего в квадрате, более формально (чтб не составляет здесь разницы) - в

более высоких степенях. Степень, ввиду того что она как число (хотя бы и

предпочитали термин величина как более всеобщее, она в себе всегда есть

число) есть множество и тогда, когда она изображена как сумма, может прежде

всего быть разложена внутри себя на любое множество чисел, которые и

относительно друг друга, и относительно их суммы имеют только то

определение, что они все вместе равны этой сумме. Но степень может быть

также разложена на сумму таких различий, которые определены формой степени.

Если степень принимается за сумму, то как сумму понимают и ее основное

число, корень, и оно может быть как угодно разложено, но это разнообразие

разложения есть безразличное эмпирически количественное (Quantitative).

Сумма, каковой должен быть корень, сведенная к своей простой определенности,

т. е. к своей истинной всеобщности, есть двучлен; всякое дальнейшее

увеличение числа членов есть не более как повторение того же определения и

потому нечто пустое *. Важна здесь, стало быть, только качественная

определенность членов, которая получается посредством возведения в степень

корня, принимаемого за сумму; эта определенность заключается единственно

лишь в изменении - в возведении в степень. Эти члены суть, следовательно,

всецело функции возведения в степень и [самой] степени. Такое изображение

числа как суммы множества таких членов, которые суть функции возведения в

степень, а затем интерес - найти форму таких функций и, далее, эту сумму из

множества таких членов, поскольку это нахождение должно зависеть только от

указанной формы, - все это составляет, как известно, особое учение о рядах.

Но при этом нам важно выделить еще другой интерес, а именно отношение самой

лежащей в основании величины (определенность которой, поскольку она

некоторый комплекс, т. е. в данном случае уравнение, заключает в себе

некоторую степень) к функциям ее возведения в степень. Это отношение,

совершенно абстрагированное от названного выше интереса [нахождения ] суммы,

окажется вытекающей из действительной науки позицией (Gesichtspunkt) как

единственной, имеющейся в виду дифференциальным исчислением.

Однако сначала нужно прибавить к сказанному еще одно определение или,

вернее, устранить из сказанного одно заключающееся в нем определение. А

именно, мы сказали, что переменная величина, в определение которой входит

степень, рассматривается внутри ее самой как сумма и притом как система

членов, поскольку последние суть функции возведения в степень, почему и

корень рассматривается как сумма, а в своей просто определенной форме - как

двучлен; хn= (у + z)n = (у + пуn-1z + ...). Для разложения степени в ряд, т.

е. для получения функций возведения в степень, эта формула исходила из

суммы, как таковой; но здесь дело не идет ни о сумме, как таковой, ни о

происходящем из нее ряде, а от суммы должно брать только соотношение.

Соотношение величин, как таковое, есть то, что, с одной стороны, остается

после абстрагирования от plus некоторой суммы, как таковой, и что, с другой

стороны, требуется для нахождения функций, получающихся в результате

разложения в степенной ряд. Но такое соотношение уже определено тем, что

здесь предмет есть уравнение, что уn = ахn также есть уже комплекс

нескольких (переменных) величин, содержащий их степенное определение. В этом

комплексе каждая из этих величин всецело положена как находящаяся в

соотношении, с другой со значением, можно было бы сказать, некоторого plus в

ней самой - положена как функция прочих величин; их свойство быть функциями

друг друга сообщает им это определение plus, но именно этим - определение

совершенно неопределенного plus, a не приращения, инкремента и т. п. Мы,

однако, могли бы также оставить без внимания этот абстрактный исходный

пункт; можно совершенно просто ограничиться тем, что после того как

переменные величины даны в уравнении как функции друг друга, так что эта

определенность заключает в себе отношение степеней, теперь сравниваются

между собой также и функции возведения в степень каждой из них, - каковые

вторые функции определены не чем иным, как самим возведением -в степень.

Можно сначала выдавать за желание или возможность сведение степенного

уравнения переменных величин к отношению функций, получающихся в результате

их разложения в ряд; лишь дальнейшая цель, польза, применение должны указать

пригодность такого его преобразования; эта перестановка и вызвана

единственно лишь ее полезностью. Если выше мы исходили из изображения этих

степенных определений на примере такой величины, которая как сумма

принимается за различенную внутри себя, то это, с одной стороны, служило

лишь для того, чтобы указать, какого вида эти функции, с другой - в этом

заключается способ их нахождения.

Мы имеем перед собой, таким образом, обычное аналитическое разложение в

ряд, понимаемое для целей дифференциального исчисления так, что переменной

величине дается приращение dx, i, а затем степень двучлена разлагается в

соответствующий ряд. Но так называемое приращение должно быть не

определенным количеством, а лишь формой, все значение которой сводится к

тому, чтобы быть вспомогательным средством разложения в ряд. Стремятся же в

этом случае - по признанию, определеннее всего выраженному Эйлером и

Лагранжем и подразумеваемому в ранее упомянутом представлении о пределе, -

лишь к получающимся при этом степенным определениям переменных величин, к

так называемым коэффициентам (эти коэффициенты суть, правда, коэффициенты

приращения и его степеней, которые определяют последовательность ряда и к

которым относятся различенные коэффициенты). При этом можно отметить, что

так как приращение, не имеющее определенного количества, принимается лишь

для целей разложения в ряд, то было бы всего уместнее обозначить его цифрой