X/y . Уравнение есть уравнение кривой, а это отношение, целиком зависящее от
него и производное (выше - согласно одному лишь правилу) от него, есть,
напротив, линейное отношение, которому пропорциональны определенные линии; р
: 2у или а - х : у сами суть отношения прямых линий кривой, а именно
отношения координат и параметра; но этим мы еще ничего не узнали. Мы хотим
знать о других встречающихся в кривой линиях, что им присуще указанное
отношение, хотим найти равенство двух отношений. - Следовательно, вопрос,
во-вторых, состоит в том, какие прямые линии, определяемые природой кривой,
находятся в таком отношении? - Но это то, что уже ранее было известно, а
именно, что такое полученное указанным путем отношение есть отношение
ординаты к подкасательной. Древние нашли это остроумным геометрическим
способом; изобретатели же нового времени открыли лишь эмпирический способ,
как придать уравнению кривой такой вид, чтобы получилось то первое
отношение, о котором уже было известно, что оно равно отношению, содержащему
ту линию (здесь - подкасательную), которая подлежит определению. Отчасти это
придание уравнению желаемого вида было задумано и проведено методически -
дифференцирование, - отчасти же были изобретены воображаемые приращения
координат и воображаемый, образованный из этих приращений и такого же
приращения касательной характеристический треугольник, дабы
пропорциональность отношения, найденного путем понижения степени уравнения,
вместе с отношением ординаты и подкасательной была представлена не как нечто
эмпирически взятое лишь из давно знакомого, а как нечто доказанное. Однако
это давно знакомое оказывается вообще (а наиболее очевидно в указанной выше
форме правил) единственным поводом и соответственно единственным основанием
для допущения характеристического треугольника и указанной
пропорциональности.
Лагранж отбросил это подобие доказательности (Simulation) и вступил на
подлинно научный путь; его методу мы обязаны тем, что усмотрели, в чем дело,
так как он состоит в том, чтобы отделить друг от друга те два перехода,
которые следует сделать для решения задачи, и рассматривать и доказывать
каждую из этих сторон отдельно. Одна часть этого решения - при более
подробном изложении хода действия мы продолжаем пользоваться как примером
элементарной задачей нахождения подкасательной - теоретическая или общая
часть, а именно нахождение первой функции из данного уравнения кривой,
регулируется особо; эта часть дает некоторое линейное отношение,
следовательно, отношение прямых линий, встречающихся в системе определения
кривой. Другая часть решения состоит в нахождении тех линий в кривой,
которые находятся в указанном отношении. Это теперь осуществляется прямым
путем (Theorie des fonct. anal., p. II, ch. II), т. е. не прибегая к
характеристическому треугольнику, а именно к бесконечно малым дугам,
ординатам и абсциссам, и не давая им определений ау и dx, т. е. членов
указанного отношения, а также не устанавливая в то же время непосредственно
значения равенства этого отношения с самими ординатой и под-касательной.
Линия (равно как и точка) имеет свое определение лишь постольку, поскольку
она составляет сторону некоторого треугольника, и определение точки также
имеется лишь в треугольнике. Это, скажем мимоходом, основное положение
аналитической геометрии, которое приводит к координатам, или, чтб то же
самое, в механике к параллелограмму сил, именно поэтому совершенно не
нуждающемуся в больших усилиях доказать его. - Подкасательная теперь
принимается за сторону треугольника, другие стороны которого составляют
ордината и соотносящаяся с ней касательная. Последняя как прямая линия имеет
своим уравнением р - aq (прибавление + Ь бесполезно для определения и
делается лишь ради излюбленной всеобщности); определение отношения p/q есть
а, коэффициент величины q, который есть соответственная первая функция
уравнения, но который должен вообще рассматриваться лишь как а = p/q , т.
е., как сказано, как сущностное определение прямой линии, применяемой как
касательная к данной кривой. Далее, поскольку берется первая функция
уравнения кривой, она также определение некоторой прямой линии; далее, так
как р, одна координата первой прямой линии, и у, ордината кривой,
отождествляются, стало быть, точка, в которой указанная первая прямая линия,
принимаемая как касательная, соприкасается с кривой, есть также начальная
точка прямой линии, определяемой первой функцией кривой, то все дело в том,
чтобы показать, что эта вторая прямая линия совпадает с первой, т. е. есть
касательная, или, выражаясь алгебраически, показать, что так как у = fх и р
= fq, а теперь принимается, что у=р, стало быть, fx=fQ,, то и f`x=F'Q. Что
употребляемая как касательная прямая и та прямая линия, которая определена
из уравнения его первой функцией, совпадают, что вторая прямая есть,
следовательно, касательная, - это показывается с помощью приращения i
абсциссы и приращения ординаты, определяемого разложением функции. Здесь,
стало быть, также появляется пресловутое приращение; однако способ, каким
оно вводится для только что указанной цели, и разложение функции по этому
приращению следует отличать от упомянутого выше пользования приращением для
нахождения дифференциального уравнения и для характеристического
треугольника. Способ, каким оно применяется здесь, правомерен и необходим;
он входит в круг геометрии, так как геометрическое определение касательной,
как таковой, требует, чтобы между ней и кривой, с которой она имеет одну
общую точку, не могло быть другой прямой линии, также проходящей через эту
-точку. Ибо с принятием этого определения качество касательной или
не-касательной сводится к различию по величине, и касательной оказывается та
линия, на которую единственно с точки зрения важного здесь определения
приходится большая малость. Эта на первый взгляд лишь относительная малость
не содержит в себе ничего эмпирического, т. е. ничего зависящего от
определенного количества, как такового; она качественно положена природой
формулы, если различие момента, от которого зависит сравниваемая величина,
есть различие в степени; так как последнее сводится к i и i2 и так как i,
которое ведь в конце концов должно означать некоторое число, следует
представлять затем как дробь, то i2 само по себе меньше, чем i, так что само
представление, что i можно приписывать любую величину, здесь излишне и даже
неуместно. Именно поэтому доказательство большей малости не имеет ничего
общего с бесконечно малым, для которого, стало быть, вообще здесь нет места.
Я хочу здесь еще сказать о Декартовом методе касательных, хотя бы только
ради его красоты и ради ныне скорее забытой, но вполне заслуженной его
славы; впрочем, он имеет отношение и к природе уравнений, о которой мы
должны будем затем сделать еще одно замечание. Декарт излагает этот
самостоятельный метод, в котором искомое линейное определение также находят
из той же производной функции, в своей оказавшейся и в других отношениях
столь плодотворной геометрии (Oeuvres compl. ed. Cousin, torn V, liv. II, p.
- Гегель г.В.Ф. Наука логики
- 1. Единство бытия и ничто
- 2. Моменты становления (Momente des Werdens)
- 3. Снятие становления (Aufheben des Werdens)
- 2. Нечто сохраняется в отсутствии своего наличного бытия (Nichtdasein),
- 1. Качество, которое есть "в себе" в простом нечто и сущностно находится
- 2. Наполнение в-себе-бытия определенностью также отлично от той
- 3. Бытие-для-иного есть неопределенная, утвердительная общность нечто со
- Idees etc ). Стало быть, не только вечные истины и идеи (сущности) вещей, но
- 1. Количество содержит оба момента - непрерывность и дискретность. Оно
- 2. Непосредственное количество есть непрерывная величина. Но количество
- 2. Ближайшее определение - равенство считываемых чисел. Благодаря этому
- 3. Оба числа, которые определены одно относительно другого как единица и
- 5), Платон говорил, что помимо чувственного и идей посередине между ними
- 2. Определить посредством числа, как велико нечто, можно, не устанавливая
- 3. В числе определенное количество положено в своей полной
- Раздел 2. Величина (количество)
- 1. Бесконечное определенное количество как бесконечно большое или
- 1 (Единицей), потому что приращение всегда встречается в разложении только
- X/y . Уравнение есть уравнение кривой, а это отношение, целиком зависящее от
- 357 И ел.), развивая в ней учение о широкой основе природы уравнений и их
- 2At есть часть движения как некоторой суммы, дает ложную видимость положения
- 3. Согласно этому, оба они составляют, собственно говоря, лишь одно
- 1. Отношение, как оно получилось теперь, есть снятое прямое отношение;
- 2. Следует рассмотреть эту качественную природу обратного отношения еще
- 3. Но тем самым получился переход обратного отношения в другое
- 1. Определенное количество, полагающее себя в своем инобытии
- 2. Степенное отношение представляется сначала внешним изменением,
- 1Развитие, которое подобно умеряющей нити тянется через безмерность его
- 1. Мера есть простое соотношение определенного количества с собой, его
- 2. Но что изменение, выступающее как чисто количественное, переходит
- 3. Мера есть в своей непосредственности обычное качество, обладающее
- 1. Качественная, в себе определенная сторона определенного количества
- 2. В мере появляется сущностное определение переменной величины, ибо она
- 2. Непосредственно определенный квант, как таковой, хотя вообще он как
- 3. Мера определилась тем самым как специфицированное отношение величин,
- 1. Если бы нечто, соединяемое с иным, а также и это иное, было бы тем,
- 2. Это соединение с несколькими [нечто ], которые также суть в самих себе
- 3. В этом отношении происходит возврат к тому способу, каким определенное
- 1. Редукцией считавшихся сначала самостоятельными отношений меры [к
- 2. Как эта неразличенность, бытие есть теперь определенность меры уже не
- 3. А именно каждое качество вступает внутри каждой стороны в соотношение
- 1. Бытие есть видимость. Бытие видимости состоит единственно лишь в
- 2. Видимость, следовательно, содержит некоторую непосредственную
- 1. Полагающая рефлексия (Die setzende Reflexion)
- 2. Внешняя рефлексия (Die aufiere Reflexion)
- 2. Положенность еще не есть определение рефлексии; она лишь
- 3. Если же рефлективное определение есть и соотношение, рефлектированное
- 1. Сущность есть простая непосредственность как снятая
- 2. Это тождество есть прежде всего сама сущность, а еще не ее
- 2. Различие в себе есть соотносящееся с собой различие; таким образом,
- 2. В разности как безразличии различия рефлексия стала вообще внешней
- 3. Внешняя рефлексия соотносит разное с одинаковостью и неодинаковостью.
- 3. Противоположность (Der Gegensatz)
- 1. Различие вообще содержит обе свои стороны как моменты; в разности они
- 2. Противоречие разрешается.
- 3. С этой положительной стороны, с которой самостоятельность как
- 1. Сущность, становится материей, когда ее рефлексия определяет себя так,
- 2. Поэтому форма определяет материю, а материя определяется формой. - Так
- 3. Форма, поскольку она предполагает материю как свое иное, конечна. Она
- 1. В реальном основании основание как содержание и основание как
- 2. Тем самым отношение основания определилось точнее следующим образом.
- 3. Реальное основание проявляется как внешняя себе рефлексия основания;
- 1. Основание - это то, что непосредственно, а основанное - то, что
- 2. Нечто есть не через свое условие; его условие - это не его основание.
- 3. Следовательно, обе стороны целого, условие и основание, с одной
- Vervollstandigt sich zur Erscheinung).
- In Beziehung) друг с другом. Таким образом, существование есть, в-третьих,
- 1. Вещь-в-себе - это существующее как существенное непосредственное,
- 2. Это иное - рефлексия, которая, будучи определена как внешняя,
- 3. Эта внешняя рефлексия есть теперь отношение вещей-в-себе друг к другу,
- 1. Явление - это существующее, опосредствованное своим отрицанием,
- 2. Следовательно, закон - это положительное в опосредство-вании
- 3. Закон, следовательно, - это существенное явление; он рефлексия явления
- 1. Существующий мир спокойно возвышается до царства законов; ничтожное
- 2. В себе и для себя сущий мир есть тотальность существования; вне его
- 2" Это отношение содержит, стало быть, самостоятельность сторон и точно
- 1. Отношение между целым и частями есть непосредственное отношение;
- 2. Таким образом, они разные определения формы, имеющие тождественную
- 3. Первое из рассмотренных нами тождеств внутреннего и внешнего - это
- 3. Первое из рассмотренных нами тождеств внутреннего и внешнего-это
- 3. Эта действительность не первая, а рефлектированная действительность,
- 1. Та необходимость, которая выявилась [здесь], формальна, так как ее
- 2. Эта возможность как в-себе-бытие реальной действительности сама есть
- 3. Стало быть, отрицание реальной возможности-это ее тождество с собой;
- 1. Причина первоначальна по отношению к действию. - Субстанция как мощь
- 2. Этой рефлектированной в себя положенности, определенному как
- 2. Но определенность отношения причинности, состоящая в том, что
- 3. Теперь следует посмотреть, чтб получилось в результате движения
- 1. Субстанция как абсолютная мощь или соотносящаяся с собой
- 2. Второй момент - это для-себя-бытие, иначе говоря, то, что мощь
- 3. Но здесь имеется еще нечто большее, чем только это явление, а именно:
- Ich denke), или самосознания. - Это положение составляет так называемую
- 83) Начинает обсуждать в отношении логики старый и знаменитый вопрос: что
- 1. Поэтому единичность являет себя прежде всего как рефлексия понятия в
- 2. Но единичность - это не только возвращение понятия в само себя, но
- 1 Субъект и предикат, как было указано, суть прежде всего имена
- 2. Поэтому чистым выражением положительного суждения служит прежде всего
- 3. Если оба предложения - формы и содержания:
- 1 Уже выше была речь о том обыденном представлении, согласно которому
- 2. Так как отрицание касается отношения суждения, а отрицательное
- 3. Особенность, оказавшаяся положительным определением отрицательного
- 35, То этот род имеет в самом себе определенность, составляющую принцип его
- 1. Умозаключение, каково оно непосредственно, имеет своими моментами
- 2. В непосредственном рассудочном умозаключении термины имеют форму
- 3. Определения умозаключения суть определения содержания, поскольку они
- 1. Истина первого качественного умозаключения состоит в том что нечто
- 2. Но термины пока еще непосредственные определенности;
- 3 Поскольку заключение столь же положительно, сколь и отрицательно, оно
- 1. Это третье умозаключение уже не имеет ни одной непосредственной
- 2. Средний член этого умозаключения есть, правда, единство крайних, но
- 3. Объективное значение умозаключения, в котором всеобщее составляет
- 1. Математическое умозаключение гласит: "Если две вещи или два
- 2. Математическое умозаключение считается в математике аксиомой, [т. Е. ]
- 3. Но результат умозаключения наличного бытия - это не только такое
- 1 Умозаключение общности есть совершенное рассудочное умозаключение, но
- 2. Но это рефлективное совершенство умозаключения делает его именно
- 3. При рассмотрении умозаключения наличного бытия из понятия
- 1. Умозаключение общности подпадает под схему первой фигуры: е-о-в,
- 2 Вторая фигура формального умозаключения (b-e-o) потому не
- 3. Индукция - это скорее по существу своему еще субъективное
- 1. Это умозаключение имеет своей абстрактной схемой третью фигуру
- 2. Аналогия тем поверхностнее, чем в большей мере то всеобщее, в котором
- 1. Категорическое умозаключение имеет одной или обеими своими посылками
- 2. Это умозаключение как первое и тем самым непосредственное
- 3. Но в этом умозаключении субъективно еще то, что указанное тождество
- 1. Гипотетическое суждение содержит лишь небходимое соотношение без
- 2. Прежде всего соотношение гипотетического суждения есть необходимость,
- 3. Гипотетическим умозаключением представлено прежде всего необходимое
- 2. А так как объект есть тотальность определенности (Bestimmtseins), но в
- 3. Так как определенность одного объекта заключена в другом объекте то
- 1. Воздействие объектов друг на друга, как это вытекает из показанного
- 2. Но если в воздействии объектов друг на друга положена прежде всего их
- 3. Это возвращение составляет продукт механического процесса.
- 1. [Химический] процесс начинается с предпосылки, что хотя объекты
- 3. Тем самым эти объекты-стихии освобождены от химической напряженности;
- 1 В своем соотношении со средством цель уже рефлектирована в себя- но ее
- 2. При ближайшем рассмотрении продукта телеологической деятельности
- 3. Тем самым получается в результате, что внешняя целесообразность,
- 1. Понятие жизни или всеобщая жизнь есть непосредственная идея, понятие,
- 2. Этот процесс, присущий живой индивидуальности, ограничен ею самой и
- 3. Только что рассмотренная идея и есть понятие живого субъекта и его
- 1. Дефиниция (Die Definition)
- 2. Членение (Die Einteilung)
- 2. Опосредствование, которое должно быть теперь рассмотрено подробнее,
- 76. Против этого плоского взгляда необходимо прибегнуть к "плоскому
- 1. Стало быть, то, чтб составляет метод, - это определения самого понятия
- 2. Конкретная тотальность, образующая начало, имеет, как таковая, в самой