1 (Единицей), потому что приращение всегда встречается в разложении только
как множитель, а множитель "единица" как раз и достигает той цели, чтобы
приращение не приводило к какой-либо качественной определенности и к
какому-либо количественному изменению, dx же, обремененное ложным
представлением о некоторой количественной разности, и другие знаки, как,
например, i, обремененные бесполезной здесь видимостью всеобщности, всегда
выглядят как определенное количество и его степени и притязают на то, чтобы
быть таковыми; это притязание приводит к стремлению, несмотря на это,
избавиться от них, отбросить их. Для сохранения формы ряда, развернутого по
степеням, можно было бы с таким же успехом присоединять обозначения
показателей как indices к единице. Но и помимо этого необходимо
абстрагироваться от ряда и от определения коэффициентов по месту, которое
они занимают в ряде: отношение между всеми ими одно и то же; вторая функция
- производная от первой, точно так же как первая - от первоначальной, и для
той, которая по счету вторая, первая производная функция есть в свою очередь
первоначальная.
По существу же своему интерес составляет не ряд, а единственно лишь
получающееся в результате разложения в ряд степенные определение в своем
отношении к непосредственной для него величине. Стало быть, вместо того
чтобы считать это определение коэффициентом первого члена разложения, было
бы предпочтительнее (так как каждый член обозначается как первый
относительно следующих за ним членов ряда, а такая степень в качестве
степени приращения, как и сам ряд, не относится сюда) употреблять простое
выражение "производная степенная функция", или, как мы сказали выше,
"функция возведения величины в степень", причем предполагается, что
известно, каким образом производная берется как заключенная внутри некоторой
степени разложения.
Но если в этой части анализа собственно математическое начало есть не что
иное, как нахождение функции, определенной через разложение в степенной ряд,
то возникает еще один вопрос:
что делать с полученным таким образом отношением, каково применение его и
пользование им, или [вопрос]: действительно, для какой цели ищут такие
функции? Дифференциальное исчисление вызвало к себе большой интерес именно
тем, что оно находило такие отношения в конкретных предметах, сводимых к
этим абстрактным аналитическим отношениям.
Но относительно применимости из самой природы сути вещей в силу вскрытого
выше характера моментов степени само собой вытекает прежде всего следующее,
еще до того, как будет сделан вывод из случаев применения. Разложение в ряд
степенных величин, посредством которого получаются функции их возведения в
степень, если абстрагироваться от более точного определения, отличается
прежде всего вообще тем, что величина понижается на одну степень. Такое
действие, следовательно, находит применение в таких предметах, в которых
также имеется такое различие степенных определений. Если будем иметь в виду
пространственную определенность, то найдем, что она содержит те три
измерения, которые мы, чтобы отличить их от абстрактных различий высоты,
длины и ширины, можем обозначить как конкретные измерения, а именно линию,
поверхность и тотальное пространство; а поскольку они берутся в их
простейших формах и в соотношении с самоопределением и, стало быть, с
аналитическими измерениями, то мы получаем прямую линию, плоскостную
поверхность (и ее же как квадрат) и куб. Прямая линия имеет эмпирическое
определенное количество, но с плоскостью появляется то, чтб обладает
качеством, степеннбе определение; более детальные видоизменения, например
то, что это происходит уже и с плоскими кривыми, мы можем оставить без
рассмотрения, поскольку здесь дело идет прежде всего о различии лишь в общем
виде. Тем самым возникает также потребность переходить от более высокого
степенного определения к низшему
Видимость случайности, представляемая дифференциальным исчислением в
разном его применении, упростилась бы уже пониманием природы сфер применения
и специфической потребности и условия этого применения. Но в самих этих
сферах важно далее знать, между какими частями предметов математической
задачи имеет место такое отношение, которое специфически полагается
дифференциальным исчислением. Пока что мы сразу должны заметить, что при
этом нужно принимать во внимание двоякого рода отношения. Действие понижения
степени уравнения, рассматриваемое со стороны производных функций его
переменных величин, дает результат, который в самом себе поистине есть уже
не уравнение, а отношение. Это отношение составляет предмет собственно
дифференциального исчисления. Но именно поэтому, во-вторых, здесь имеется
также отношение самогб более высокого степеннбго определения
(первоначального уравнения) к низшему (производной функции). Это второе
отношение мы должны оставить пока без внимания; впоследствии оно окажется
предметом, характерным для интегрального исчисления.
Рассмотрим сначала первое отношение и для определения момента, в котором
заключается интерес действия (это определение должно быть заимствовано из
сферы так называемого применения), возьмем простейший пример кривых,
определяемых уравнением второй степени. Как известно, отношение координат в
степеннбм определении дано непосредственно уравнением. Следствиями основного
определения являются определения других связанных с координатами прямых
линий: касательной, подкасательной, нормали и т. п. Но уравнения между этими
линиями и координатами суть линейные уравнения; те целые, в качестве частей
которых определены указанные линии, - это прямоугольные треугольники,
составленные прямыми линиями. Переход от основного уравнения, содержащего
определение, к этим линейным уравнениям содержит указанный выше переход от
первоначальной функции, т. е. от той функции, которая есть уравнение к
производной функции, которая есть отношение и притом отношение между теми
или иными содержащимися в кривой линиями. Связь между отношением этих линий
и уравнением кривой и есть то, что требуется найти.
Небезынтересно отметить относительно истории [дифференциального
исчисления ], что первые открыватели умели указать найденное ими решение
лишь всецело эмпирически, не будучи в состоянии объяснить само действие,
оставшееся совершенно внешним. Я ограничиваюсь здесь указанием на Барроу,
учителя Ньютона. В своих Lect. opt. et geom., в которых он решает задачи
высшей геометрии по методу неделимых, отличающемуся прежде всего от того,
что составляет особенность дифференциального исчисления, он излагает также
свой метод определения касательных, "так как на этом настаивали его друзья"
(lect. X). Нужно прочесть у него самого, как он решает эту задачу, чтобы
составить надлежащее представление о том, каким образом этот метод дан как
совершенно внешнее правило - в том же стиле, как в учебниках арифметики
прежде излагалось тройное правило или, еще лучше, так называемая проба
арифметических действий девяткой. Он чертит те маленькие линии, которые
впоследствии были названы [бесконечно малыми] приращениями в
характеристическом треугольнике кривой, и затем в виде простого правила
предписывает отбросить как излишние те члены, которые в ходе развертывания
уравнения выступают как степени указанных приращений или как произведения
(etenim isti termini nihilum valebunt) 115, а также следует отбросить те
члены, которые содержат величины, определяемые лишь на основе
первоначального уравнения (последующее вычитание первоначального уравнения
из уравнения, составленного вместе с приращениями), и, наконец, заменить
приращение ординаты самой ординатой и приращение абсциссы - подкасательной.
Нельзя, если позволительно так выразиться, изложить способ более
школьно-педантически; последняя подстановка - это допущение
пропорциональности приращений ординаты и абсциссы ординате и
под-касательной, сделанное в обычном дифференциальном методе основой
определения касательной; в правиле Барроу это допущение выступает во всей
своей наивной наготе. Был найден простой способ определения подкасательной;
приемы Роберваля и ферма сводятся к чему-то сходному - метод нахождения
наибольших и наименьших значений, из которого исходил Ферма, покоится на тех
же основаниях и на том же образе действия. Математической страстью того
времени было находить так называемые методы, т. е. указанного рода правила,
и притом делать из них секрет, что было не только легко, но в некотором
отношении даже нужно, и нужно по той же причине, почему это было легко, а
именно потому, что изобретатели нашли лишь эмпирически внешнее правило, а не
метод, т. е. не то, чтб выведено из признанных принципов. Подобные так
называемые методы Лейбниц воспринял от своего времени; Ньютон также
воспринял их от своего времени, а непосредственно - от своего учителя;
обобщением их формы и их применимости они проложили новые пути в науках, но,
занимаясь этим, они чувствовали также потребность освободить образ действия
от формы чисто внешних правил и старались дать ему надлежащее обоснование.
Анализируя метод более подробно, мы увидим, что истинный ход действия в
нем таков. Во-первых, степенные определения (разумеется, переменных
величин), содержащиеся в уравнении, низводятся до их первых функций. Но этим
меняется значение членов уравнения. Поэтому уже нет уравнения, а возникло
лишь отношение между первой функцией одной переменной величины и первой
функцией другой. Вместо рх = у2 мы имеем р : 2у или вместо lax - х2 = у2
имеем а - х : у, что впоследствии стали dv обычно обозначать как отношение
- Гегель г.В.Ф. Наука логики
- 1. Единство бытия и ничто
- 2. Моменты становления (Momente des Werdens)
- 3. Снятие становления (Aufheben des Werdens)
- 2. Нечто сохраняется в отсутствии своего наличного бытия (Nichtdasein),
- 1. Качество, которое есть "в себе" в простом нечто и сущностно находится
- 2. Наполнение в-себе-бытия определенностью также отлично от той
- 3. Бытие-для-иного есть неопределенная, утвердительная общность нечто со
- Idees etc ). Стало быть, не только вечные истины и идеи (сущности) вещей, но
- 1. Количество содержит оба момента - непрерывность и дискретность. Оно
- 2. Непосредственное количество есть непрерывная величина. Но количество
- 2. Ближайшее определение - равенство считываемых чисел. Благодаря этому
- 3. Оба числа, которые определены одно относительно другого как единица и
- 5), Платон говорил, что помимо чувственного и идей посередине между ними
- 2. Определить посредством числа, как велико нечто, можно, не устанавливая
- 3. В числе определенное количество положено в своей полной
- Раздел 2. Величина (количество)
- 1. Бесконечное определенное количество как бесконечно большое или
- 1 (Единицей), потому что приращение всегда встречается в разложении только
- X/y . Уравнение есть уравнение кривой, а это отношение, целиком зависящее от
- 357 И ел.), развивая в ней учение о широкой основе природы уравнений и их
- 2At есть часть движения как некоторой суммы, дает ложную видимость положения
- 3. Согласно этому, оба они составляют, собственно говоря, лишь одно
- 1. Отношение, как оно получилось теперь, есть снятое прямое отношение;
- 2. Следует рассмотреть эту качественную природу обратного отношения еще
- 3. Но тем самым получился переход обратного отношения в другое
- 1. Определенное количество, полагающее себя в своем инобытии
- 2. Степенное отношение представляется сначала внешним изменением,
- 1Развитие, которое подобно умеряющей нити тянется через безмерность его
- 1. Мера есть простое соотношение определенного количества с собой, его
- 2. Но что изменение, выступающее как чисто количественное, переходит
- 3. Мера есть в своей непосредственности обычное качество, обладающее
- 1. Качественная, в себе определенная сторона определенного количества
- 2. В мере появляется сущностное определение переменной величины, ибо она
- 2. Непосредственно определенный квант, как таковой, хотя вообще он как
- 3. Мера определилась тем самым как специфицированное отношение величин,
- 1. Если бы нечто, соединяемое с иным, а также и это иное, было бы тем,
- 2. Это соединение с несколькими [нечто ], которые также суть в самих себе
- 3. В этом отношении происходит возврат к тому способу, каким определенное
- 1. Редукцией считавшихся сначала самостоятельными отношений меры [к
- 2. Как эта неразличенность, бытие есть теперь определенность меры уже не
- 3. А именно каждое качество вступает внутри каждой стороны в соотношение
- 1. Бытие есть видимость. Бытие видимости состоит единственно лишь в
- 2. Видимость, следовательно, содержит некоторую непосредственную
- 1. Полагающая рефлексия (Die setzende Reflexion)
- 2. Внешняя рефлексия (Die aufiere Reflexion)
- 2. Положенность еще не есть определение рефлексии; она лишь
- 3. Если же рефлективное определение есть и соотношение, рефлектированное
- 1. Сущность есть простая непосредственность как снятая
- 2. Это тождество есть прежде всего сама сущность, а еще не ее
- 2. Различие в себе есть соотносящееся с собой различие; таким образом,
- 2. В разности как безразличии различия рефлексия стала вообще внешней
- 3. Внешняя рефлексия соотносит разное с одинаковостью и неодинаковостью.
- 3. Противоположность (Der Gegensatz)
- 1. Различие вообще содержит обе свои стороны как моменты; в разности они
- 2. Противоречие разрешается.
- 3. С этой положительной стороны, с которой самостоятельность как
- 1. Сущность, становится материей, когда ее рефлексия определяет себя так,
- 2. Поэтому форма определяет материю, а материя определяется формой. - Так
- 3. Форма, поскольку она предполагает материю как свое иное, конечна. Она
- 1. В реальном основании основание как содержание и основание как
- 2. Тем самым отношение основания определилось точнее следующим образом.
- 3. Реальное основание проявляется как внешняя себе рефлексия основания;
- 1. Основание - это то, что непосредственно, а основанное - то, что
- 2. Нечто есть не через свое условие; его условие - это не его основание.
- 3. Следовательно, обе стороны целого, условие и основание, с одной
- Vervollstandigt sich zur Erscheinung).
- In Beziehung) друг с другом. Таким образом, существование есть, в-третьих,
- 1. Вещь-в-себе - это существующее как существенное непосредственное,
- 2. Это иное - рефлексия, которая, будучи определена как внешняя,
- 3. Эта внешняя рефлексия есть теперь отношение вещей-в-себе друг к другу,
- 1. Явление - это существующее, опосредствованное своим отрицанием,
- 2. Следовательно, закон - это положительное в опосредство-вании
- 3. Закон, следовательно, - это существенное явление; он рефлексия явления
- 1. Существующий мир спокойно возвышается до царства законов; ничтожное
- 2. В себе и для себя сущий мир есть тотальность существования; вне его
- 2" Это отношение содержит, стало быть, самостоятельность сторон и точно
- 1. Отношение между целым и частями есть непосредственное отношение;
- 2. Таким образом, они разные определения формы, имеющие тождественную
- 3. Первое из рассмотренных нами тождеств внутреннего и внешнего - это
- 3. Первое из рассмотренных нами тождеств внутреннего и внешнего-это
- 3. Эта действительность не первая, а рефлектированная действительность,
- 1. Та необходимость, которая выявилась [здесь], формальна, так как ее
- 2. Эта возможность как в-себе-бытие реальной действительности сама есть
- 3. Стало быть, отрицание реальной возможности-это ее тождество с собой;
- 1. Причина первоначальна по отношению к действию. - Субстанция как мощь
- 2. Этой рефлектированной в себя положенности, определенному как
- 2. Но определенность отношения причинности, состоящая в том, что
- 3. Теперь следует посмотреть, чтб получилось в результате движения
- 1. Субстанция как абсолютная мощь или соотносящаяся с собой
- 2. Второй момент - это для-себя-бытие, иначе говоря, то, что мощь
- 3. Но здесь имеется еще нечто большее, чем только это явление, а именно:
- Ich denke), или самосознания. - Это положение составляет так называемую
- 83) Начинает обсуждать в отношении логики старый и знаменитый вопрос: что
- 1. Поэтому единичность являет себя прежде всего как рефлексия понятия в
- 2. Но единичность - это не только возвращение понятия в само себя, но
- 1 Субъект и предикат, как было указано, суть прежде всего имена
- 2. Поэтому чистым выражением положительного суждения служит прежде всего
- 3. Если оба предложения - формы и содержания:
- 1 Уже выше была речь о том обыденном представлении, согласно которому
- 2. Так как отрицание касается отношения суждения, а отрицательное
- 3. Особенность, оказавшаяся положительным определением отрицательного
- 35, То этот род имеет в самом себе определенность, составляющую принцип его
- 1. Умозаключение, каково оно непосредственно, имеет своими моментами
- 2. В непосредственном рассудочном умозаключении термины имеют форму
- 3. Определения умозаключения суть определения содержания, поскольку они
- 1. Истина первого качественного умозаключения состоит в том что нечто
- 2. Но термины пока еще непосредственные определенности;
- 3 Поскольку заключение столь же положительно, сколь и отрицательно, оно
- 1. Это третье умозаключение уже не имеет ни одной непосредственной
- 2. Средний член этого умозаключения есть, правда, единство крайних, но
- 3. Объективное значение умозаключения, в котором всеобщее составляет
- 1. Математическое умозаключение гласит: "Если две вещи или два
- 2. Математическое умозаключение считается в математике аксиомой, [т. Е. ]
- 3. Но результат умозаключения наличного бытия - это не только такое
- 1 Умозаключение общности есть совершенное рассудочное умозаключение, но
- 2. Но это рефлективное совершенство умозаключения делает его именно
- 3. При рассмотрении умозаключения наличного бытия из понятия
- 1. Умозаключение общности подпадает под схему первой фигуры: е-о-в,
- 2 Вторая фигура формального умозаключения (b-e-o) потому не
- 3. Индукция - это скорее по существу своему еще субъективное
- 1. Это умозаключение имеет своей абстрактной схемой третью фигуру
- 2. Аналогия тем поверхностнее, чем в большей мере то всеобщее, в котором
- 1. Категорическое умозаключение имеет одной или обеими своими посылками
- 2. Это умозаключение как первое и тем самым непосредственное
- 3. Но в этом умозаключении субъективно еще то, что указанное тождество
- 1. Гипотетическое суждение содержит лишь небходимое соотношение без
- 2. Прежде всего соотношение гипотетического суждения есть необходимость,
- 3. Гипотетическим умозаключением представлено прежде всего необходимое
- 2. А так как объект есть тотальность определенности (Bestimmtseins), но в
- 3. Так как определенность одного объекта заключена в другом объекте то
- 1. Воздействие объектов друг на друга, как это вытекает из показанного
- 2. Но если в воздействии объектов друг на друга положена прежде всего их
- 3. Это возвращение составляет продукт механического процесса.
- 1. [Химический] процесс начинается с предпосылки, что хотя объекты
- 3. Тем самым эти объекты-стихии освобождены от химической напряженности;
- 1 В своем соотношении со средством цель уже рефлектирована в себя- но ее
- 2. При ближайшем рассмотрении продукта телеологической деятельности
- 3. Тем самым получается в результате, что внешняя целесообразность,
- 1. Понятие жизни или всеобщая жизнь есть непосредственная идея, понятие,
- 2. Этот процесс, присущий живой индивидуальности, ограничен ею самой и
- 3. Только что рассмотренная идея и есть понятие живого субъекта и его
- 1. Дефиниция (Die Definition)
- 2. Членение (Die Einteilung)
- 2. Опосредствование, которое должно быть теперь рассмотрено подробнее,
- 76. Против этого плоского взгляда необходимо прибегнуть к "плоскому
- 1. Стало быть, то, чтб составляет метод, - это определения самого понятия
- 2. Конкретная тотальность, образующая начало, имеет, как таковая, в самой