7.9.5. Диффузионное движение пор вблизи границы кристалла, обусловленное поверхностной диффузией

Рассмотрим пору в упругоизотропном кристалле кремния с изо­тропными свойствами поверхности. В этом случае в бесконечном кристалле пора имеет сферическую форму, а напряжение на рас­стоянии r от центра поры определяется выражением

, (7.22)

где суммарное давление на поверхность кристалла

(7.23)

слагается из давления газа в поре Р₀ и лаплассовского давления P_L = – 2 /R ( – коэффициент поверхностного натяжения). Если кристалл подвергнут внешнему давлению, то под Р₀ понимают раз­ность давлений газа внутри поры и внешнего.

В ограниченном кристалле поле напряжений уже не может оп­ределяться формулой (7.22), поскольку из нее вытекает существо­вание поверхностной плотности сил ( – единичный вектор внешней нормали к поверхности), возникающие на границе кристалла под действием внутренних напряжений. Под их дейст­вием пора будет двигаться перпендикулярно границе, а ее форма будет искажаться. При этом, если основную роль играют поверхно­стные диффузионные потоки, то скорость поры v и изменение ее формы даются формулами

, (7.24)

. (7.25)

Для случая малых значений относительного искривления поры

. (7.26)

Из формулы (7.24) видно, что в асимптотическом случае при R<<L (L – расстояние от центра поры до границы кристалла) пус­тые поры (P = – 2/R) должны двигаться от границы кристалла, а поры, заполненные газом, давление которых превышает лаплассов­ское давление (P > 0), – к границе. Скорость пропорциональна ко­эффициенту граничной диффузии и резко зависит от расстояния до границы L, изменяясь обратно пропорционально L⁴. Быстрее будут двигаться поры большого радиуса, причем в случае пустых пор v ~ R, а в случае пор, заполненных газом под высоким давлением (P >> 2/R), v ~ R².

Если, например, в кремнии D_s ~ 10^-6 см²/с, Т ~ 10³ K,  ~ 10^‑23 см³, Р ~ 0,1 Гн/м² (~ 10⁹ дн/см²), R ~ 10^-5 см, L ~ 10^-4 см, то v ~ 10^-9 см/с (0,1 Å/c) и пора перемещается на расстояние L за время ~ 10⁵ c.

Отметим, что учет изменения объема и формы поры и движение ее центра тяжести вблизи границы, обусловленные объемной диф­фузией, приводят к ее симметричному заплыванию или росту. На качественном уровне эта задача исследована в [12,13].