Работа тепловой машины. Теорема и цикл Карно

В эпоху начала создания паровых машин, естественно встал вопрос о коэффициенте полезного действия, как идеальной машины, так и при ее работе в реальных условиях. Такую машину в схематическом варианте можно представить состоящей из следующих частей:

1. Рабочего тела, получающего теплоту от некоторого теплового резервуара и производящего работу.

2. Самого теплоисточника как некоторого горячего резервуара с температурой Т₁.

3. И холодильника или холодного резервуара, которому рабочее тело передает часть полученной им теплоты, не перешедшей в работу (в работу расширения), с температурой Т₂.

Схематически представим себе процесс следующим образом.

Теплоисточник с температурой Т₁ передает теплоту, количеством Q₁ рабочему телу (идеальный газ). Идеальный газ частично за счет Q₁ производит работу в тепловой машине А и часть теплоты, не перешедший в работу, Q₂, отдает холодильнику (холодному резервуару).

В 1824 г. Сади Карно нашел способ вычисления максимальной работы, которую может совершить тепловая машина. Он впервые осознал, что отсутствует зависимость от устройства двигателя и способа, которым совершается работа, а существует лишь зависимость только от температур, обусловливающих поток теплоты. Максимальная работа достигается в тех двигателях, в которых процесс передачи теплоты происходит бесконечно медленно при бесконечно малой разности температур теплоисточника и холодильника.

Карно не получил самого выражения, позволяющего рассчитать максимальный коэффициент полезного действия  тепловой машины, это сделали другие. Но он осознал и сформулировал сам принцип. Акцентируя на нем внимание читателей, отметим, что открытие С. Карно в следующем: обратимый тепловой двигатель производит максимальную работу, а максимальная величина  является исключительно функцией температуры горячего и холодного резервуаров.

 = А/Q₁,

где А – совершенная работа, Q₁ – теплота, взятая у теплоисточника.

. (25)

В последнем выражении Q₁ – количество тепла, взятое у теплоисточника с температурой Т₁ рабочим телом, а Q₂ – количество тепла, которое не перешло в работу и передано этим телом холодильнику с температурой Т₂.

Задача. Температура теплоисточника 1000 К, температура холодильника 298 К. Рабочее тело получило от теплоисточника 10000 Дж теплоты. Найти величину совершенной в равновесных условиях работы и количество теплоты, отданной холодильнику.

 = 0,702

А = 0,702 Q₁; A = 702 Дж; Q₂ = 1000 – 702; Q₂ = 298 Дж.

Обратимый цикл Карно, рассматриваемый в координатах p, V имеет вид, показанный на рис. 21.

Он состоит из четырех процессов: изотермического расширения при температуре Т₁, изотермического сжатия при температуре Т₂ и адиабатического расширения и сжатия газа.

Рис. 21. Цикл Карно (проекция на координатную плоскость p – V). АВ – изотермическое расширение при температуре Т₁, CD – изотермическое сжатие при температуре Т₂, ВС – адиабатическое расширение и DА – адиабатическое (без подвода тепла извне) сжатие при давлении p_i.

Работа изотермических процессов:

А₁ = RT₁ln (участок АВ)

А₃ = RT₂ln (участок CD)

V_i – объем одного моля газа в состояниях, соответствующих точкам А, В, С и D.

Работа адиабатических процессов равна:

А₂ = C_V(T₁ – T₂) (участок ВС)

А₄ = C_V(T₂ – T₁) (участок DA).

В реальных условиях рабочий процесс тепловой машины не может происходить равновесно. Пусть для нее q₁ – тепло, отданное теплоисточником тому же рабочему телу, а q – переданное последним холодильнику. Но в этих условиях q₁ < Q₁ q₂ > Q₂, следовательно

и

.

Таким образом, _реальн < _{ид.(обратим.)}.

Из математического выражения (25) вытекают следующие следствия:

1. Т₁ = Т₂;  = 0. Невозможно получить работу за счет теплоты, если имеется только один тепловой резервуар и система, совершая циклический процесс, возвращается в исходное состояние. Иначе говоря, невозможен вечный двигатель 2-го рода, когда переход теплоты в работу не сопровождается изменениями в системе.

2. Т₂ = 0;  = ; = 1. Таким образом, коэффициент полезного действия тепловой машины максимален при любой температуре теплоисточника. Но при этом не происходит изменений в системе, что невозможно. Следовательно, Т = 0 (абсолютный нуль температуры) недостижима.