7.3. Однопараметрическая диффузионная модель

Данная модель соответствует гидродинамической структуре поршневого потока с перемешиванием в продольном направлении. При этом принимается, что продольное перемешивание может быть описано уравнением, аналогичным уравнению молекулярной диффузии (первый закон Фика), т. е. всякое отклонение распределения времени пребывания частиц потока от распределения при идеальном вытеснении, независимо от причины, вызвавшей это отклонение, считают следствием продольного перемешивания (вдоль оси потока), условно описываемого уравнением диффузии с некоторым коэффициентом диффузии.

В соответствии с принятой аналогией, если в движущемся (например, по трубе) потоке окрасить тонкий поперечный слой жидкости, то краска будет размываться в обе стороны от движущегося окрашенного сечения, как и в случае обычной молекулярной диффузии, размывание краски в этих направлениях обусловлено наличием градиента ее концентрации. Однако скорость такого размывания больше, чем в случае молекулярной диффузии. Поэтому для количественной характеристики скорости продольного перемешивания вместо коэффициента диффузии, используемого в известных законах Фика, вводят некоторый фиктивный коэффициент диффузии, называемый также коэффициентом продольного перемешивания.

Для получения математического описания используем закон сохранения массы и дополнительную гипотезу связи для определения диффузионного потока – первый закон Фика

где D – коэффициент диффузии, м²/с; F – площадь сечения аппарата, м².

В данном случае принимается, что концентрация вещества изменяется в результате движения (вынужденной конвекции), а также в результате продольного перемешивания (диффузии) (рис. 2).

Рис. 4

М_к – массовый поток в результате вынужденной конвекции, М_g – массовый поток в результате продольного перемешивания. Выделим элементарный объем V (рис. 5)

Рис.5.

Согласно блочного принципа необходимо определить:

Общее уравнение материального баланса будет иметь вид:

Определим отдельные слагаемые этого уравнения

= V · C

= V · (C + ΔС)

Здесь С и С+С концентрация вещества соответственно на входе и выходе выделенного объема

Накопление вещества М в выделенном объеме, т.е. изменение массы вещества объема V, связанное с изменением концентрации С, определится из уравнения:

С учетом всех соотношений для М^вх и М^вых уравнение материального баланса запишется в виде:

Выполнив сокращения в данном уравнении, разделив на (t, Х) и учитывая, что

получим при t:

или с учетом w = V / F

(7)

В этом уравнении D_X – основной параметр, характеризующий модель и являющийся коэффициентом продольного перемешивания. Коэффициент продольного перемешивания по смыслу и размерности аналогичен коэффициенту молекулярной диффузии.

Функция С(t, X) является решением данного уравнения, причем

Модель применяется для математического описания трубчатых аппаратов, аппаратов колонного типа с насадкой и без насадки при осевом рассеивании вещества.

При выборе однопараметрической диффузионной модели принимаются следующие допущения: концентрация вещества является непрерывной функцией пространственной и временной координат, концентрация во всех точках сечения, ортогонального направлению движения, одинакова, скорость потока и коэффициент продольного перемешивания не изменяются по длине и поперечному сечению потока.