7.6. Диффузионная модель с застойными зонами

В данной модели объем потока в аппарате V представляется (рис. 7) в виде суммы V=V₁+V₂, где V₁ – эффективно используемый объем, V₂ – объем, который может служить источником или стоком массы. К V₂ относится объем застойных зон: объем пор в частицах, элементах насадки и т.д.

Между зонами V₁ и V₂ происходит обмен веществом (рис. 7 – массовый поток, которым обмениваются зоны), причем, характер обмена может быть различным. Наиболее вероятными видами обмена могут быть конвективный, диффузионный, а также виды обмена адсорбции и десорбции.

Пусть между диффузионной и застойной зонами имеет место конвективный вид обмена, другие виды обмена будут рассматриваться далее.

Наличие в системе конвективного обмена означает, что существует объемный расход потока V_K из проточной части системы в застойную. Ввиду предполагаемого постоянства объемов проточной и застойной зон существует точно такой же расход потока и в обратном направлении.

Рис. 7

М_К, М_g – конвективный и диффузионный массовые потоки, как и для простой диффузионной модели.

При вводе уравнений, характеризующих распределение частиц потока в аппарате, необходимо учесть в материальном балансе конвективный обмен веществом между застойной и диффузионной зоны будет иметь вид:

(9)

Аналогично запишется уравнение для застойной зоны

(10)

Обозначим концентрацию в проточной части аппарата С (кг/м³), а в застойной зоне - С₁. Введем величину - доля объема всего аппарата, занимаемого диффузионной зоной, соответственно .

С учетом этих обозначений соотношения, определяющие конвективные массовые потоки в направлении: проточная часть аппарата – застойная зона _, а также в обратном направлении будут иметь вид:

Величина  позволяет представить соотношения, определяющие накопление массы М_g и М₃ в виде:

Учитывая эти соотношения, а также соотношения, используемые при выводе уравнения (7), уравнения (9), (10) преобразуются:

Разделив эти уравнения на . Величину обозначим _К – объемный коэффициент скорости конвекционного обмена (С^-1), определяется экспериментально. В пределах и получим уравнение материального баланса для проточной части аппарата:

(11)

и уравнение материального баланса для застойной зоны

(12)

Решением этой системы уравнений является функция С(t,X) причем

при Х=0,

при X= l , t>0

где l – длина аппарата.

Полученная модель имеет три параметра D_K, _K, , определяемые экспериментально.

Теперь рассмотрим диффузионный вид обмена (рис. 7) между проточной частью аппарата и застойной зоной.

При диффузионном обмене интенсивность диффузионного потока можно оценить на основе уравнения конвекционной диффузии Щукарева

где М₃ – результирующий массовый поток в направлении: диффузионная зона (при условии C>C₁), если C<C₁, то направление изменяется на обратное;  - коэффициент массопередачи; F_K – поверхность контакта двух зон; C_F – концентрация на поверхности раздела двух зон.

Принимая во внимание, что перемешивание в застойной зоне идеальное, C_F можно определить как C_F=C₁ (в соответствии с допущениями модели смешения). Таким образом, результирующий массовый поток определяется из соотношения

а уравнения (9,10) преобразуются к виду:

Эти соотношения позволяют получить математическое описание модели, если между зонами существует диффузионный вид обмена.

(13)

(14)

где _D =F_K/(FX) – константа диффузионного обмена, С^-1.

Если диффузионная и застойная зоны аппарата обмениваются веществом путем адсорбции – десорбции, то результирующий поток можно определить, используя уравнение массопередачи

где К_а – коэффициент массопередачи, F_K – поверхность контакта фаз, С^* - равновесная концентрация, характеризующая концентрацию вещества в застойной зоне. В момент равновесия массовый поток, которым обмениваются диффузионная и застойная зона, отсутствует (М₃=0), так как С=С^* и движущая сила процесса равна нулю. Пусть m – константа равновесия адсорбции, т.е.

тогда

Если, как и в предыдущих случаях, ввести обозначение -коэффициент скорости (С^-1) процесса адсорбции – десорбции, то можно получить следующие уравнения математического описания

(15)

(16)

В действительности, в системе могут иметь место все перечисленные виды обмена одновременно. Исходя из принципа аддитивности, можно предположить, что общий обменный поток определяется как сумма отдельных потоков за счет действия каждого из рассмотренных явлений обмена:

где ; - общие коэффициенты обмена в прямом и обратном направлении.

В общем случае уравнения, характеризующие распределение частиц в соответствии с диффузионной моделью при наличии застойных зон, запишутся в виде:

(17)

(18)

;

l - длина аппарата.

Применяется модель для описания потоков в зернистой среде, в насадке.